Уравнения, содержащие знак модуля

Алгоритм решения уравнений вида |f(х)|=|g(х)|
Решения уравнения |f(х)|=|g(х)| равносильно решению двух уравнений:
f(х)=g(х) или f(х)=-g(х)

Например:
|5х-4|=|3х+2|;
5х-4=3х+2 или 5х-4=-3х-2;
2х=6 или 8х=2;
Х=3 или х=0,25.
Ответ: 0,25; 3.

2. | х2 –3 х|=|х-3|;
х2 –3 х=х-3 или х2 –3 х=-х+3;
х2 -4х+3=0 или х2 -2х-3=0;
D1=4-3=1 или D1=1+3=4;
х=2±1 или х= 1±2;
х1=3, х2=1 или х1=3,х2=-1.
Ответ: ±1; 3.

Первый алгоритм решения
уравнений вида |f(х)|=g(х)
Уравнение |f(х)|=g(х) равносильно решению двух систем:
1)
g(х)≥0,
f(х)=g(х);
2)
g(х)≥0,
f(х)=g(х).

Например: 1. |х+2|=2(3-х).
или
3-х≥0,
х+2=2(3-х);
х≤3,
х+2=6-2х;
х≤3,
3х=4;
х≤3,
х=1⅓.
х=1⅓.
Ответ: х=1⅓.
3-х≥0,
х+2=-2(3-х);
х≤3,
х+2=-6+2х;
х≤3,
х=8;
корней нет.

2. | х2 +х-3|=х
или
х≥0,
х2 +х-3=х;
х≥0,
х2 -3=0;
х≥0,
х2 =3;
х≥0,
х=±√3;
х= √3.
Ответ: 1; √3
2) х≥0,
х2 +х-3=-х;
х≥0,
х2 +2х-3=0;
D1=1+3=4;
х=-1±2;
х₁=-3<0,
х₂=1>0.