Геометрические преобразования плоскости

Понятие движения.
Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.
Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.
Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
Примеры движения. Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.

Наложения и движения.
В курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Фигура Ф равна фигуре Ф1 , если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1 .
Понятие наложения в геометрии относится к основным понятиям, поэтому определение наложения не даётся.
Наложение – это отображение плоскости на себя.

Осевая симметрия – это движение.
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой n, если эта прямая проходит через середину отрезка А А1 и перпендикулярна к нему. Прямая n называется осью симметрии.
Каждая точка прямой n считается симметричной самой себе.
Фигуры называются симметричными относительно прямой, если для каждой точки фигуры Ф соответствует симметричная точка фигуры Ф1 относительно оси симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.
Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии.

Центральная симметрия – это движение.
Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1
Точка О считается симметричной самой себе. Точка О называется центром симметрии.
Фигуры Ф и Ф1 называются симметричными относительно точки О, если каждой точке фигуры Ф соответствует точка фигуры Ф1 симметричная относительно центра О.

Фигуры, обладающие центральной симметрией.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Точка О называется центром симметрии фигуры, т. е. фигура обладает центральной симметрией.
Центральная симметрия- это
поворот плоскости на 180°.
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Поворот – это движение.
Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1 что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен α.
При этом точка О остаётся на месте, те отображаются сама на себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против.
Поворот является движением (отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния).

Поворот фигуры.
Пусть О – центр поворота, α – угол поворота против часовой стрелки (так задаётся поворот).
Поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представляет собой движение.
Это движение можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки на данный угол.

Параллельный перенос – это движение, которое сохраняет расстояние между точками.
Пусть ā – данный вектор. Параллельным переносом на вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка А отображается в соответственную точку А1
Параллельный перенос является движением, т. е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.
Это движение можно представить как сдвиг всей плоскости на вектор ā.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.

Гомотетией с центром О и коэффициентом к ≠ 1 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку А переводит в такую точку А1, что О А1 = к ∙ ОА
Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность переводит в окружность.
Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |к| раз. Из этого следует, что гомотетия сохраняет форму фигур (но не размеры).
Если к › 1, то происходит увеличение формы фигуры. Если 0‹ к ‹ 1, то происходит уменьшение формы фигуры.
Гомотетия является преобразованием подобия.

Преобразование плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит в прямую, а параллельные между собой прямые переводит в параллельные прямые.
При аффинных преобразованиях длины отрезков и углы могут изменяться.
При аффинных преобразованиях не сохраняется отношение длин отрезков, однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется.
Середина отрезка переходит в середину отрезка, медиана треугольника - в медиану, круг- в эллипс, параллелограмм в параллелограмм.

Композиция отображений на плоскости – это последовательно выполненные движения плоскости.
В геометрии рассматриваются последовательности преобразований, которые переводят некоторую фигуру саму в себя.
Например.
Для равностороннего треугольника движения плоскости переводят треугольник в себя.
Например. Паркет, изображённый на рисунке, содержит такие композиции как симметрия относительно точки А и поворот относительно точки В, параллельный перенос на вектор АК.

Примеры композиций.
Последовательность осевых симметрий.
Последовательность параллельного переноса и осевой симметрии.