Производные функции нескольких переменных (часть 1)

План
Разберём ДЗ
Несколько слов о математическом моделировании.
Функции 2-х переменных; функции многих переменных.
Частные производные, дифференциалы функций.
Экстремум функции 2-х переменных.
Аппроксимация. МНК.

Разбор ДЗ по теме «Производные одной переменной»

Задание 2
= - sin(pi + 3*sqrt(pi))(2*sqrt(pi)+3) =
= sin(3*sqrt(pi))(2*sqrt(pi)+3) =
= -5,38 (с округлением)

Задание 3

Задание 4

Функции многих переменных.
Где применяется математическое моделирование?
Модели потребительского выбора, фирмы (производственные функции); экономического роста; равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и т. д.
Механика жидкости - нефтедобывающая промышленность.

Математическое моделирование – зачем?
Упрощенно описать реальность.
Учесть ключевые факторы.
Принять решение.
Математическая модель – основа для принятия решения.

Задачи математического программирования
Решают: проблему выбора, оптимизации.
У истоков: Канторович, Кун, Таккер.

Функция 2-х переменных: определение.
График функции - поверхность

Область определения функции 2-х переменных D(x;y)

Примеры поверхностей 2-го порядка

Пример

Пример

Пример
Круг радиуса 1 в центре с началом координат
D(x;y)

Функция многих переменных: определение.

Частные производные 1-го порядка
- «дельта икс», приращение переменной x
=
- «дельта игрек», приращение переменной у

Определение производной функции одной переменной
(для сравнения)

Вычисление частных производных

Сравнение с неявными функциями
В случае неявной функции y зависит от х: y(x)
В случае функции нескольких переменных – нет: z(x,y)

Разница между неявными функциями и функциями нескольких переменных
Неявная функция
Функция двух переменных

Вычислить:

Вычисление частных производных

Частный дифференциал функции многих переменных W(x,y,z)
dx – «дифференциал икс» - произвольное бесконечно малое приращение переменной величины

Частный дифференциал не путаем с частной производной функции многих переменных
Частный дифференциал равен частной производной умноженной на приращение

Полный дифференциал функции многих переменных W(x,y,z)

Полный дифференциал функции многих переменных W(x,y,z)

dW = W’(x)dx+W’(y)dy+W’(z)dz
dW=(2cos(2x)+cos(5y))dx-5xsin(5y)dy-(7/(cos(7z)^2)dz
dW(0;0;0)=3dx-7dz

dW (0;0;0) = 3dx-7dz
Интерпретация
В точке (0;0;0) при бесконечно малых приращениях x, y и z главную линейную часть приращения функции W можно вычислить по формуле.

Частные производные 2-го порядка

Частные производные 2-го порядка

Экстремум функции 2-х переменных

Локальный и глобальный экстремумы: разница
минимумов
минимум

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
http://mathprofi.ru/naibolshee_i_naimenshee_znacheniya_funkcii_na_otrezke.html
(пример 3)

Экстремум функции 2-х переменных
Необходимые условия экстремума.
Частные производные равны нулю или не существуют.
Точки, для которых это выполняется, называются критическими.
Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными.
Важно!
Не каждая критическая точка является точкой экстремума.
Аналог для функций одной переменой: точки перегиба (y = x3 )
Технически – решаем систему уравнений

Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных
z’x=0
z’y=0
(для стационарных точек)

Достаточное условие экстремума
(для стационарных точек)
1
2
Минимум
Максимум

Определитель матрицы 2х2

К достаточному условию есть несколько подходов
Два математических:
через полный дифференциал второго порядка (требует большого навыка работы с числами);
через уравнения касательной плоскости (является самым сложным способом, но при этом самым надежным).
Два алгебраических:
через критерий Сильвестра (с помощью матрицы Гёссе. Является самым простым способом, но требует начального уровня знания в линейной алгебре);
через собственные значение матрицы Гёссе (является самым быстрым, но требует более глубокого уровня знания в линейной алгебре).

Пример: исследовать на экстремум функцию

Необходимые условия

Достаточные условия (частный случай критерия Сильвестра)
М1 (0;0)
М2 (1;0.5)

Источник: www.linis.ru

Комментарий к записи

Аппроксимация

Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Экстраполяция — способ построения функции вне интервала известных значений.

Функция одной переменной: практический пример интерполяции

Функция одной переменной: практический пример интерполяции

МНК

Оценка качества модели: коэффициент детерминации
Находится в диапазоне от 0 до 1;
Чем ближе к 1, тем лучше модель.

МНК для нелинейных функций
Взвешенный МНК
Обобщённый МНК
И т. д.

МНК для нелинейных функций

МНК для нелинейных функций