Уравнения высших степеней

История исследования уравнений высших степеней

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной.
Разложение на множители и замена переменной.

Метод разложения на множители
Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число а является корнем многочлена Р(х) степени n, то его можно представить в виде
Р(х)=(х-а)Q(x) , где Q(x)-многочлен степени (n-1).
Теорема Безу: “ Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а) , т.е. значению многочлена при х=а”.
Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), т.е. понизить степень уравнения.

Целые корни уравнения являются делителями свободного члена

Понизим степень уравнения делением многочленов

Понижение степени по схеме Горнера

Пример№6 2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = 0

Замена переменной

Возвратные уравнения
-

Однородные уравнения.
Делим на
Получим замену

Уравнения
Если
то выполняется замена переменной.
,

В уравнениях числитель и знаменатель делим на х
Получим замену

Биномиальные уравнения
замена получим Применяем формулу бинома Ньютона