Зачетная система в старших классах как средство предупреждения неуспеваемости

Одной из мер по предупреждению неуспеваемости школьников старших (10-х и 11-х) классов является зачет по пройденному материалу. Такой зачет систематизирует полученные знания, требует от учащихся серьезного отношения к учебе.
Предварительно необходимо провести следующую работу. Учащимся сообщается тема, по которой будет проводиться зачет, умения и навыки, которыми должен обладать учащийся, основные теоретические вопросы и упражнения для самоконтроля, все это вывешивается на стенде в кабинете математики. К зачету учителем подготавливаются карточки задания, которые содержат теоретический вопрос и задачи.
Зачет можно проводить как письменно, так и устно. При устном ответе следует обращать внимание на правильность построения предложений, на знание математической терминологии, на умение обосновать тот или иной вывод.
Зачет проводится во внеурочное время или же в часы, которые выделены учителю как резерв времени.

Рассматриваемые темы
Применение производной
Тригонометрические функции и тождества
Показательная, логарифмическая и степенная функции и их производные

1. Тема «Применение производной»
1.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
1.2. План подготовки учащихся
1.3. Вопросы и задачи для самопроверки
1.4. Карточки-задания к зачету
К списку тем

1.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
Знать признаки возрастания и убывания функции в интервале, необходимые и достаточные условия экстремума, общую схему исследования функций, уравнение касательной к графику функции в заданной точке на этом графике, физический смысл производной.
Уметь находить промежутки возрастания и убывания функций, критические точки и экстремумы функций, исследовать функции и строить графики типа у=0,5x2-2x; y=x2+3x+5; y=0,5x2-2x-2; y=x3-3x
и другие, применять производную для нахождения скорости и ускорения движения, к решению задач практического содержания, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.
К началу темы
К началу темы
К списку тем

1.2. План подготовки учащихся
Главная часть приращения функции. Формула для
приближенных вычислений.
Применение производной в геометрии. Касательная
к графику функции.
Применение производной в физике. Скорость и ускорение.
Применение производной к исследованию функции.
Возрастание и убывание функции.
Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.
Общая схема исследования функции. Исследование
квадратичной функции.
Наименьше и наибольшее значение функции.
К началу темы
К списку тем

1.3. Вопросы и задачи для самопроверки
Каков геометрический смысл производной в точке?
Как составить уравнение касательной к графику
функции в заданной точке?
Как найти скорость и ускорение, зная закон движения?
Используя производную, докажите, что функция
у = кх +b возрастает при к > О и убывает при к < 0.
С помощью производной найдите промежуток монотонности функции: а) у = Зх2 - 2х + 1; б) у = х3 - 12х.
Как читается теорема Ферма?
Найдите критические точки функции; выясните,
какие из них являются точками максимума и какие точками минимума:
y =2x3-3x2-12x+6
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = 0,5х2 - 0,5х - 1; б) у = х3 - 4х2.
К началу темы
К списку тем

1.4. Примеры карточек-заданий к зачету
КАРТОЧКА 1
Расскажите о применении производной в геометрии (касательная к графику функции).
Исследуйте функцию у=-0,5х2-х+1,5 и пост­ройте ее график.
КАРТОЧКА 2
Расскажите о применении производной в физике
(скорость и ускорение).
Исследуйте функцию у= х3 - 3х и постройте ее график.
КАРТОЧКА 3
Расскажите, как используется производная при исследовании функции на возрастание и убывание.
Для функции у =x3-3x2-24x+1 найдите точки экстремумов и вычислите экстремальное значение функции в каждой из этих точек.
К началу темы
К списку тем

2. Тема «Тригонометрические
функции и тождества»
2.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
2.2. План подготовки учащихся
2.3. Вопросы и задачи для самопроверки
К списку тем

2.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
Знать определение угла в один радиан и уметь переходить от градусного измерения угловых величин к радианному и обратно; знать формулы длины дуги и площади сектора, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента. Уметь применять основные тригонометрические тождества к преобразованию триго­нометрических выражений.
Знать основные свойства тригонометрических функций (знаки тригонометрических функций, свойства четности и нечетности, периодичность). Уметь применять эти свойства при решении упражнений.
Знать формулы сложения и их следствия, уметь применять их к решению упражнений.
К началу темы
К списку тем

2.2. План подготовки учащихся
Радианное измерение угловых величин.
Синус и косинус числового аргумента.
Тангенс и котангенс числового аргумента.
Знаки значений тригонометрических функций.
Четные и нечетные функции.
Периодичность тригонометрических функций.
Косинус и синус суммы и разности.
Тангенс суммы.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Тригонометрические функции половинного аргумента.
Формулы суммы и разности косинусов (синусов).
Формулы приведения
К началу темы
К списку тем

2.3. Вопросы и задачи для самопроверки
Сформулируйте определение угла в один радиан. Сколько градусов содержит один радиан?
В равнобедренном треугольнике величина угла при основании равна 30°44'. Найдите величины углов этого треугольника.
С помощью таблиц найдите значения величин углов в градусах по данным их значениям в радианах: 0,3452; 1,4230.
Выведите формулы дуги в α радианов и площади сектора, соответствующего этой дуге.
Найдите длину дуги и площадь сектора, если длина радиуса окружности равна 10 см, а дуга содержит:
а) 60°; б) 50°19'.
Сформулируйте определения тригонометрических функций числового аргумента. Докажите, что
tg α ctg α=1
Сравните числа sin 418° и cos 211°. Установите знак произведения sin 280° cos 390°.
Какие функции называются четными? Приведите примеры четных функций.
Какие функции называются нечетными? Приведите примеры нечетных функций. Приведите примеры функций, не обладающих свойствами четности и нечетности.
Покажите на единичном круге, что соs (- 120°) = соs 120°, sin(- 30°) = - sin30°.
Какие функции называются периодическими? Каков наименьший период функций: у = sinх; у = сos х;
у = tg х; у = сtg х?
Запишите известные вам тригонометрические тождества. Укажите допустимые значения аргумента в каж­дом из этих тождеств.
Что больше: sin 3 или сos 3?
Не пользуясь таблицей значений тригонометричес­ких функций, вычислите:
а) sin 75°; б) соs 15°; в) tg 75°;
г) sin 65° сos 5° - соs 65° sin 5°; д) соs 75° соs 15° - sin 75° sin 15°;
ж) 1-2sin2 150° ; з) 2sin15°sin 75°
К началу темы
К списку тем

3. Тема «Показательная, логарифмическая и степенная функции и их производные»
3.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
3.2. План подготовки учащихся
3.3. Вопросы и задачи для самопроверки
3.4. Карточки-задания к зачету
К списку тем

3.1. Основные требования к знаниям и умениям учащихся
Знать определения показательной, логарифмической и степенной функций, их свойства и графики, правила дифференцирования этих функций.
Знать теоремы о логарифме произведения, частного, степени и формулу перехода от логарифмов при одном основании к логарифмам при другом основании.
Уметь решать показательные и логарифмические уравнения, не требующие громоздких преобразований, например, показательные уравнения, решаемые приведением обеих его частей к общему основанию, логарифмические уравнения, решаемые способом потенцирования.
Уметь выполнять простейшие вычисления с помощью десятичных логарифмов, решать простейшие иррациональные уравнения.
К списку тем

3.2. План подготовки учащихся
Показательная функция. Примеры решения простейших показательных уравнений и неравенств.
Логарифмическая функция. Теоремы о логарифмах,
формула перехода от логарифмов при одном основании к
логарифмам при другом основании. Свойства логарифмической функции. Примеры решения простейших логарифмических уравнений и неравенств.
Примеры вычислений с десятичными логарифмами.
Производная показательной функции. Число е. Натуральный логарифм.
Производная обратной функции. Производная логарифмической функции.
Степенная функция и ее производная.
Иррациональные уравнения.
К списку тем

3.3. Вопросы и задачи для самопроверки
Сформулируйте определение показательной функции. Приведите примеры показательных функций. Изобразите схематически график функции у = ах при а > 1, при 0 < а < 1.
Начертите графики функций у = 2х и у = 0,5x и опишите их свойства.
Решите уравнение: а) 4x = 1/8 б) 10 x = 0,l·100,5; в) 2х + 2Х-2 = 18.
Изобразите схематически графики функций: а) у = ех; б) у = е-х; в) у = ех - 1; г) у = ех+1
Вычислите производную функции: а) у = ех+2; б) у = 2ех; в) у = 3x-1; г) у = 2sinx ; д) у = е-x ·cos 2х;
Дано: f(x) = хех. Вычислите: f '(- 1), f '(0), f '(1)
Дано: f(x) = exsin 2х. Вычислите: f '(0), f '(π).
Найдите производную функции и угол между касательной, проведенной к ее графику в точке с абсциссой х0 = 0, и осью Ох: а) f(x) = е-x; б) f(х) = e2x+1; в) f(x) = ех + еx.
К списку тем

В какой точке кривой у = ех касательная к ней: а) наклонена к оси абсцисс под углом 45°; б) параллельна прямой у = х - 2?
Напишите уравнение горизонтальной касательной к графику функции: а) у = ех + е-x; б) у = ех+2 + е-x.
Сформулируйте определение логарифмической функции. Приведите примеры логарифмических функций. Изобразите схематически график функции у = loga x при а > 1, при 0 < а < 1.
Начертите графики функций у = log2 х и у = log0,5 x и опишите их свойства. С помощью этих графиков определите знаки чисел: log2 0,75; log2 1,5; log0 5 0,8; log0 5 5,3.
Вычислите:
3log2 log4 16 + log0,5 2.
Найдите область определения функции: а) у = log3 (2х - 1); б) у = log2 (x2 - 9); в) у = log0,5 (х2 - 2х).
Докажите теоремы о логарифме произведения, частного, степени и корня.
Вычислите: log2 5 + log2 1,6;
Найдите x:, если: a) log3 x = log3 18 – 1/3log3 8; 6) log2 x = 2log2 3 + 1/2 log2 9; в) log3 x = 2log3 7 + 1/5 log3 32 – 1/2 log3 196.
22. Найдите область определения и производную функции:
а) у = In (2x + 3); б) y = In x2;
в) у = In (x2 + х + 2); г) y = log2 (- x2 + Зх - 2)

Решите уравнение:
а) lg 5х + lg (х - 1) = 1;
б) \ogx+1 (2х2 + 1) = 2;
в) lg2 х + lg х2 = - 1;
г) 2log3 (2x - 1) = log3 (Зх + 1);
д) lg (2х - 1) - 2 = lg 0,3;
е) log4 х - log0,25 х = 4;
ж) In (х2 - 5х - 9) - In (2х - 1) = 0;
з) х4lg4 = 10.
Решите неравенство:
a)0,53x-2 > 0,5x;
б) log3 (Зх - 2) > 0;
в) log0,3 (Зх - 2) > 0;
г) log0,5(2x-4) > -l.