Линейная алгебра Матрицы

Определение матриц
Матрица – это прямоугольная таблица чисел или выражений.
Пример 1
Числа в матрице называются элементами матрицы.
Элементы матрицы расположены в строчках и столбцах.
Количество строк и столбцов называется размерностью матрицы.

Виды матриц
Единичная матрица – это такая матрица, у которой все элементы главной диагонали единицы, а все остальные равны нулю.
Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю.

Порядок квадратных матриц
Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов (m = n)
Если число строк матрицы не равно числу столбцов матрицы, то матрица называется прямоугольной.
Для квадратных матриц указывается только их порядок.
(2х2) – второго порядка; (3х3) третьего порядка и т.д.
Матрицы второго порядка.
Матрица третьего порядка

Диагонали матриц
В квадратных матрицах можно выделить элементы, стоящие в главной диагонали и элементы, стоящие в побочной диагонали.
Главная диагональ проходит из левого верхнего угла в правый нижний угол.
Побочная диагональ проходит из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Диагональная матрица – это такая квадратная матрица, у которой элементы по главной диагонали отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.

Определение размерности матриц
Пример 2 m=3 строки, n=2 столбца
Размерность матрицы В равна (3 x 2 )
Размерность матрицы С равна (2 x 3 )
Размерность матрицы Д равна (3 x 3 )

Виды матриц
Матрица называется треугольной, если под главной диагональю стоят все элементы – нули, а остальные а остальные элементы – отличие нуля.
Верхняя треугольная матрица
Матрица называется трапецевидной, если под главной диагональю стоят элементы нули и есть нулевые строки.

Действия над матрицами
Матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число, делить на число, умножать одну матрицу на другую, транспонировать, находить для квадратной матрицы обратную .
Складывать можно матрицы только одной размерности! Результатом сложения двух матриц будет матрица той же размерности.
Законы сложения матриц
Коммутативный закон сложения матриц / от перемены мест при сложении матриц результат не изменяется/.
А+В=В+А
Ассоциативный закон сложения матриц./ матрицы можно складывать в любом порядке/
(А+В)+С=А+(В+С)

Действия над матрицами
Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить элементы, стоящие на одинаковых местах в матрицах.
Чтобы вычесть две матрицы, нужно из элементов первой матрицы вычесть элементы второй матрицы, стоящие на одинаковых местах в матрицах

Действия над матрицами
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.
Умножение двух матриц
Умножать матрицы можно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. А= (m x n) B= (n x p).
Размерность матрицы, равной произведению двух матриц равна (число строк первой матрицы Х число столбцов второй матрицы)
А х В В х А /При умножении двух матриц коммутативный (переместительный) закон не выполняется/.

Умножение матриц (пример)

Транспонирование матриц
Транспонирование матриц
Чтобы транспонировать матрицу, нужно строки и столбцы поменять местами