Задачі без початкових умов

Розглянемо задачу про поширення періодичного граничного режиму:
або
Відповідно знайдемо вирішення задачі:
Нехай
З 1ї граничної умови:
З 2ї граничної умови:
Відповідно отримаємо:

Переходимо до границі α –> 0:
Розглянемо наступну задачу:
?
a = 0
a ≠ 0
Нехай
, а
Періодична ф-я, що розкладається в ряд Фур’є

Для а = 0 рішення визначено неоднозначно, якщо не накладати додаткових умов
Для отримання одного рішення задачі Iα при α=0 необхідно ввести поняття «зникаючого тертя».
Розв’язок задачі I0 буде задовольняти даній умові, якщо воно є розв’язком задачі Iα при α=0
Аналогічно, якщо x = l закріплений, а на x = 0 заданий граничний режим

Єдиність обмеженого розв’язку
Припустимо неперервність рішень із похідними до 2го порядку включно в області
При цьому граничні значення
Визначені на
Нехай
Два обмежені рішення задачі ( I ):
, і задовольняє одн.гр.ум
Коеф. Фур’є для v
Задовольняють рівнянню
- загальний розв’язок рівняння вище, де
Так як α>0, то
Отже розв’язок обмежений при t -> - ∞ лише для An=0, Bn=0, тобто vn(t)=0 для n≠0
Відповідно,
,