1. Множества

1.1. Понятие множества. Логические символы
Под множеством понимают совокупность определенных и отличных друг от друга объектов, объединенных общим характерным признаком в единое целое.
Объекты или предметы, из которых состоит множество, называют элементами множества.
Множества обозначают прописными латинскими буквами А, В, С, ..., а элементы множеств — строчными латинскими буквами а, b, с, ....
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: ;
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: .
Множества. Способы задания

Если множество А состоит из элементов а, b, с, d, то пишут
Если множество А задается указание характерного свойства P(x) его элементов, то записывают так:
Множество, состоящее из одного элемента, называют одноэлементным и обозначают: . Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом .
Например, множество действительных корней уравнения
пусто.
Все множества делятся на конечные и бесконечные. Множество, состоящие из конечного числа элементов, называются конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Если А - конечное множество, то число его элементов обозначаю через и называют мощностью множества А.

Квантор общности обозначается (“любой”, “всякий”, “каждый”). Выражение “для любого x из множества М” можно записать короче: . Выражение “во всяком треугольнике ABC” записывают в виде .
Квантор существования обозначается (“существует”, “найдется”). Выражение “существует x, принадлежащий множеству M, такое, что ... ” записывают так: . Двоеточие означает “имеет место” “такое, что”.
Например:
( выражение “для любого существует , такое, что для всех x, отличных от и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравентво ”)
Логические символы

Символ логического следствия (“следует”, “вытекает”). Выражение “из утверждения a следует утверждение b ” записывают так: .
Символ эквивалентности обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него и читается: “тогда и только тогда, когда ...”, “равносильно ...”, “необходимо и достаточно”.
Например, выражение “в любом треугольнике ABC сторона АС равна стороне ВС тогда и только тогда, когда угол А равен углу В ” записывается в виде:

Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. (обозначение: А=В). Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обладает следующими свойствами:
1. А = А (рефлексивность);
2. А = В, В = С А = С (транзитивность);
3. А = В В = А (симметричность).
Если множество А не равно множеству В, то пишут .
Отношения между множествами

Множество А, называется подмножеством множества В , если каждый элемент множества А является элементом множества В. (обозначение: ).
Понятие подмножества определяет между двумя множествами отношение включения. Если , то А называют собственным подмножеством множества В и обозначают (отношение строгого включения).
Всякое натуральное число является целым, поэтому . Но всякое целое число является рациональным, следовательно, . Всякое же рациональное число является действительным, поэтому . Следовательно, .
Множество рациональных и иррациональных чисел не равны между собой и ни одно из них не является подмножеством другого.

Пусть дано универсальное множество U. Множества А и В - произвольные подмножества множества U.
Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или обоим одновременно):
Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:
1.2. Операции над множествами

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно:
коммутативный и ассоциативный законы:
дистрибутивный закон:

Разностью двух множеств А и В называется множество, содержащее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат В, но принадлежат А :
Разность называется дополнением множества А до универсального множества U:

Пара элементов называется упорядоченной, если указан порядок записи элементов x и y. Считается, что
Элементы x и y упорядоченной пары называются координатами этой пары.
Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар:
Если A=B, то называют декартовым квадратом.

1.3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств
Пусть А, В произвольные множества и f - закон (правило), по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Тогда говорят, что задано отображение f множества А в множество B, или оператор f, переводящий множество А в множество B.
Элемент b, в который отображен a, называют образом элемента a при отображении f и обозначают f(a). Элемент а называют прообразом элемента f(a).
Множество образов всех элементов a при отображении f называют образом множества А:
Задание отображения предполагает задание тройки (А, f, B), где А - отображаемое множество; В - множество значений отображения; f - закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие элемент .

Отображение называют взаимно однозначным или биективным, если каждый элемент является образом только одного элемента .
Отображение называют обратным к отображению f, если т.е. элементу ставится в соответствие тот элемент , образом которого при отображении f является b.

Два множества А и В называются эквивалентными (равномощными), если существует хотя бы одно взаимно однозначное отображение одного множества на другое. (обозначение: A ~ B ).
Свойства отношения эквивалентности:
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Например, N - множество натуральных чисел, А - множество четных натуральных чисел. Взаимно однозначное соответствие с помощью соотношения