2 Э Т А П

Целью второго этапа исследования было вычисление матричных элементов линейных операторов пространств представления, переводящих некоторый базис в другой базис, а также вывод из полученных матричных элементов новых интегральных соотношений для G-функций Мейера.
В качестве пространства представления использовалось пространство бесконечно дифференцируемых функций на конусе или , отвечающих условию -однородности: . Представление групп Лоренца в пространствах задается по формуле .

В случае трехмерной группы Лоренца были выделены следующие три контура на конусе, по одному разу пересекающие каждую образующую (может быть, за исключением одной): окружность : , парабола : и гипербола : . Указанные контуры были параметризованы следующим способом: ,
,
.

В случае четырехмерной группы были выделены аналогичные контуры: сфера : , параболоид : и гиперболоид : . Эти контуры были параметризованы так:

В случае трехмерной группы Лоренца на контурах , и введены и продолжены по однородности на весь конус следующие базисы соответственно:

Для случая четырехмерной группы Лоренца выполнен аналогичный процесс. Полученные базисы, в отличие от трехмерного случая, уже содержат специальные функции (многочлены Гегенбауэра, функции Бесселя и Лежандра). В частности, их сужения на контуры с учетом указанной выше параметризации имеют вид:
и

В трехмерном случае из разложения
получается формула
для матричных элементов перехода между базисами, где ⎯ билинейный функционал
,
не зависящий от контура . Аналогично получаются формулы для матричных элементов перехода между другими базисами, а также формулы для четырехмерного случая.

Вычисляя таким образом матричные элементы, мы можем выразить их через функции Мейера. Например, при и

Из формул для матричных элементов композиции двух переходов между базисами получаются интегральные соотношения. Например, формула
, приводит к соотношению

Пусть Тогда функция
как функция от является -однородной и, следовательно, . Уравнения вида при всех описывают двуполостные гиперболоиды в пространстве . Если
и , то интегральный оператор
назовется преобразованием Пуассона. Аналогично определяется преобразование Пуассона для четырехмерного случая. Оно не зависит от контура на конусе.

Преобразование Пуассона, примененное, например, к
обеим частям разложения ,
приводит к еще одному интегральному соотношению:
где , и .

Аналогично получаются соотношения для любой другой пары базисов в трехмерном и четырехмерном случаях. В некоторых частных случаях получаются соотношения для других функций: например, интегральное представление функции Лежандра