Алгебраические преобразования с параметрами

В в е д е н и е
Первой, и, пожалуй самой просто функцией является линейная функция y=kx+m.
Вы знаете что при конкретных k и m
графиком функции y=kx+m
является прямая линия.
Так же из курса школьной программы мы уже знаем, что k=tgа, где а-угол наклона прямой к оси ОХ, а
m-ордината точки, в которой прямая пересекается с осью ОУ. И если мы будем изменять значение k , то через одну точку пересечения m с осью ОУ проходит несколько различных прямых. Если же k зафиксировать, а m менять, то получим семейство параллельных прямых.
Теперь поближе познакомимся с линейными уравнениями. Линейные уравнения с двумя переменными называется уравнение вида ax+by+c=0. Если b=0, то его можно привести к виду y= -ax:b-c:b, и, положив k= -a:b и
m= -c:b, получить стандартный вид y=kx+m. Если же b=0, то уравнение приводится к виду x= -c:b и мы получаем прямую, параллельную оси OY.
Рассмотри подробнее случай b=0. Тогда, как было указано, мы можем привести уравнение к виду y=kx+m. Посмотрим, как меняется график функции y(x) при изменении коэффициентов k и m ,то есть как функция y(x) зависит от параметров k и m.
Если k<0, то функция убывает, если k=0, то функция постоянна, и если k>0, то функция возрастает (рис. 1).
Если m<0, то точка пересечения с осью ОУ будет в нижней полуплоскости, если m=0, то прямая пройдёт через начало координат, и если m>0, то график будет пересекаться с осью ОУ в верхней полуплоскости (рис. 2).
k<0 k=0 k>0 m<0 m=0 m>0
рис. 1 рис. 2

П Р И М Е Р №1
Для каждого значения а определите число решений уравнения /x -2x -3/=a
Решение. В этой задаче параметр уже выражен через переменную. Таким образом, надо просто аккуратно построить график данной функции.
а
4
0 X
Количество решений уравнения при фиксированном а определяется числом точек пересечения построенного графика с прямыми у=а, проходящими параллельно оси X. Отсюда сразу следует, что при а>4 и при а=0 имеем два решения, при а=4 – три решения, при а (0;4) – четыре решения и, наконец, при а<0 решений не существует.
Ответ. Если а (4;+00), то два решения;
если а 4 , то три решения;
если а (0;4), то четыре решения;
если а 0 , то два решения;
если а (-00; 0), то нет решений.
2

П Р И М Е Р №2
Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение
(x-p) (p(x-p) -p-1)=-1 имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
Решение. Если p=0, то данное уравнение принимает вид x =1. Это уравнение имеет корни x =1 и x =-1. Следовательно, в этом случае число положительных и число отрицательных корней одинаково, и такое p условию задачи не удовлетворяет.
Пусть p=0. Обозначим z=(x-p) >0, тогда исходное уравнение принимает вид
pz –(p+z)z+1=0 (*).
Корнями уравнения (*) являются z =1 z =1 .
1)Если p<0, то z <0, что противоречит определению z , поэтому остается только z=1 и исходное уравнение имеет два корня: x =p+1 и x =p-1. Легко видеть, что при -1< p <0 имеем x >0 и x <0,
при p<-1 имеем x <0 и x <0,
а при p=-1 получаем x =0 и x =-2.
Следовательно, ни при каком p<0 исходное уравнение не имеет положительных корней больше, чем отрицательных, то есть никакие значения p<0 условию не удовлетворяют.
2
2
2
1
1
2
2
p
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1

П Р И М Е Р №2
2) Если p>0, то и z >0 исходное уравнение имеет четыре корня:
x =p+1, x =p-1, x =p+ 1, x =p - 1
Пусть 0
0, x <0, x >0, x <0, таким образом, такие p не подходят.
Пусть p=1. Тогда x =2, x =0, x =2, x =0. Следовательно, p=1 подходит. Пусть p>1,
тогда x >0 при i=1,2,3,4. Таким образом, подходят все p>1
Ответ. p принадлежит [1;+00).
2
1
2
3
4
p
p
i
1
2
3
4
1
2
3
4

П Р И М Е Р №3
Решите уравнение log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1.
Решение ОДЗ: x > 1, a > 0, a = 1.
log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1
log (a (x – 1))= log (( x – 1) x+1),
a (x -1) = (x-1) (x-1)(x+1),
a (x-1)(x+1) = (x-1) (x-1)(x+1)
Так как x=-1 и x=1, сократим обе части уравнения на (x-1) (x-1)(x+1)
a x+1= x - 1
Возведём обе части полученного уравнения в квадрат:
a (x+1) = x-1 a x + a = x – 1 x(1 - a ) = a + 1
Так как a = -1 и a = 1. то x = 1+a
a
2
a
2
a
3
a
a
a
a
a
3
2
2
a
2
2
a
3
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
1-a
4

П Р И М Е Р №3
Для того чтобы значения x являлось решением уравнения, должно выполняться условие x>1 , то есть 1 + а
Выясним, при каких значениях параметр a это неравенство истинно:
1 + a 2a
Так как a >0, то полученная дробь положительна, если 1 – a > 0, то есть при a <1.
Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 x является корнем исходного уравнения.
Ответ. При a < 0, a = 1 уравнение не имеет смысла,
при a > 1 решений нет,
при 0 < a < 1 x = 1 + a
1 - a
> 0
4
4
1 - a
4
4
- 1>0,
1 -a
>0
4
4
4
1 - a
4
4

П Р И М Е Р №4
Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений имеет два действительных решения.
4y = 4b + 3 – x +2x
x + y =2x
Решение. Преобразуем исходную систему следующим образом:
4y = 4b + 3 – x +2x 4y = 4b+4 –(x-1) y - 4y +4b +3=0
x + y =2x (x-1) = 1-y (x-1) = 1-y
Рассмотрим второе уравнение последней системы. Так как (x-1) >0, то значение переменной y должно лежать на отрезке -1;1 .
Путём подстановки в систему проверяем, что при y=+1 исходная система не имеет двух действительных решений, и условие на переменную y выглядит следующим образом: y принадлежит ( -1;1) . (*)
Решения первого уравнения при b< 1 имеют вид y =2+ 1-4b
А при b>1 не существуют. Имеем y >2, то есть условие (*) не выполняется.
Таким образом, чтобы существовало решение системы, необходимо следующее:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[
[
4
1,2
4
2

П Р И М Е Р №4
-1 < 2 - 1-4b < 1
2 - 1-4b <-1 1 - 4b < 3 1 – 4b < 9
2 - 1-4b <1 1 - 4b >1 1 – 4b > 1
b принадлежит (-2;0)
Ответ. b принадлежит (-2;0).

Заключение
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. И работая, я способствовала расширению своего математического кругозора, интеллекта, развитию умения анализировать, сравнивать и обобщать, глубоко и прочно усвоив материал.