Бенефис одной задачи

Бенефис одной задачи.
(В одной задаче – почти вся планиметрия!)

Задача.
В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно перпендикулярны.
Найдите длину средней линии трапеции.

Способ №1
1. Продолжим BC вправо. Проведем DK || AC. Так как ACKD – параллелограмм, то DK=6 см.
2. BD┴DK, так как BD ┴ AC. Δ BDK – прямоугольный.
BK= ;
BK= =10(см).
3. BK=BC+AD. Средняя линия равна половине BK, то есть 5 см.
Ответ: 5 см.
В
С
А
D
K
О

Способ №2 (похож на 1)
Проведем СЕ || BD до пересечения с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE – параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора из ΔACE (CE || BD, но BD ┴ AC, следовательно,CE ┴AC):
AE = ; AE = = 10(см).
AE = a+b. Но средняя линия равна (a+b)/2 ,
т.е. равна 5 см.
Ответ: 5 см.
A
B
C
D
E
a
b
6
8

Способ №3
MN – средняя линия трапеции. Проведем MK || BD и соединим точки N и K.
NK – средняя линия ΔACD, следовательно NK=0,5 AC; NK = 3(см).
MK – средняя линия ΔABD, следовательно MK=0,5 BD; MK=4(см).
Угол MKN равен углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.
ΔMKN – прямоугольный.
MN = = =5(см).
Ответ: 5 см.
A
B
C
D
O
M
N
K

Способ №4
1.Продолжим CA на расстояние AM = CО. Через точку М проведем MN || AD. BD ∩ MN = N.
2. ΔOMN – прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см. Следовательно, MN = 10 cм (теорема Пифагора).
3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до пересечения с MK. ΔMAK = ΔBOC (по I признаку), следовательно AK = = BC.
4. MKDN – параллелограмм, DK= MN = 10 см. Но
DK = AD+BC. Значит, средняя линия равна 5 см.
Ответ: 5 см.
A
B
C
D
M
K
O
N

Способ №5
Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ – параллелограмм с прямым углом, т.е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ= 5 см (египетский треугольник).
Ответ: MN = 5 cм.
P
M
Q
N
3
4

Способ №6
Продолжим AC за точку A так, что АМ = ОС. Продолжим BD за точку D так, что DN = BO. Итак, ΔOMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE ┴ MN, DF ┴ MN,
OK ┴ BC.
ΔAME = ΔKOC и ΔDFN = ΔBKO по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, ME = KC и FH = BK, т.е. MN = AD + BC = 10 (см).
Средняя линия равна (AD+BC)/2= =MN/2=10/2 = 5.
Ответ: 5 см.
O
M
E
F
N

Способ №7
Пусть OC = x, BO = y; тогда АО = 6 – х, DO = 8 – y. MN – средняя линия.
1.Из подобия ΔBOC и ΔAOD имеем:
х/(6-х) = у/(8-у),
8х – ху = 6у – ху,
8х = 6у, у = 4/3х.
2. Из прямоугольного треугольника ΔBOC имеем:
ВС = √ x²+ (4/3x)² = √ x² + 16/9x² = √ 25/9x² = 5/3x.
3.Из подобия ΔBOC и ΔAOD имеем:
BC/AD = OC/AO, (5/3x)/AD = x/(6-x),
AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x.
4. MN = (AD + BC) = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 (см).
Ответ: 5 см.

Способ №8
1.Из подобия ΔBOC и ΔAOD:
x/(6-x) = y/(8-y), y=4/3x.
2.Продолжим диагонали на отрезки, равные CO и BO.
3.Из ΔMON: MN = 10 см.
4. AOD подобен ΔMON;
MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 =
= 7,5 (см).
5.В ΔBOC:
BC = x²+(4/3x)² = 5/√3x.
6.ΔBOC подобен ΔAOD.
BC/AD = OC/AO, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x);
10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 = 5x; x = 1,5 (cм).
7. BC = 5/3x = 5/3*1,5 = 2,5 (см).
8. Средняя линия равна
(AD+BC)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5.
Ответ: 5 см.
M
N
y
x
6-x
8-y
O

Способ №9 Тригонометрический
1. Из подобия ΔBOC и ΔAOD:
X/(6-x) = y/(8-y) , y =4/3 х.
2. Δ BOC – прямоугольный.
tg α =y/x =4/3x : x = у =4/3 .
3. Найдем cos α либо по формуле:
1+tg²α = 1/cos a,
либо методом треугольника: cos α = 3/5.
4. Из ΔBOC:
OC/BC = cos α, BC = OC/cos α =4*5/3 = 5/3 x.
5. Из ΔAOD:
AO/OD = cos α, AD = AO/ cos α = (6-x)/3/5 = 5(6-x)/3 .
6. Средняя линия равна
(AD+BC)/2 = 5 (см).