Длинная линия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ.
погонные параметры
Рассмотрим двухпроводную длинную линию. ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки; z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.
Линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами на участке dz:
R1 — погонное сопротивление, Ом/м;
G1 — погонная проводимость, 1/Ом м;
L1 — погонная индуктивность Гн/м;
C1 — погонная ёмкость Ф/м;
Рис.1. Двухпроводная линия связи.

ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА УЧАСТКА DZ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему. Значения параметров схемы определяются соотношениями:
Используя эквивалентную схему, запишем выражения для падения напряжения и утечки тока на участке dz:

Обозначив Z1 = R1 + iωL1, - полное продольное сопротивление участка dz, а Y1 = G1 + iωC1 – полная поперечная проводимость участка dz и подставив сюда значения параметров схемы, получаем:
Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии
Эти соотношения называются телеграфными уравнениями длинной линии. Они определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии
Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока:
Для этого продифференцируем их по z:
При этом учтем условие регулярности линии

решения известны и могут быть записаны в виде:
Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения состоит в неизменности вдоль линии ее погонных параметров.
Подставляя значения производных напряжения и тока, после преобразований получаем:
Однородные волновые уравнения длинной линии
где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.
Решения волновых уравнений имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору.

Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:
Направление распространения волн определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z. Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:
где α — коэффициент затухания волны в линии; β — коэффициент фазы. И предыдущее выражение может быть записано в виде:
Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π , то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением:

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:
Определим коэффициенты A и B , входящие в решения волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений и подставим в него напряжение и ток . Тогда получим:
Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

где
— волновое сопротивление линии.
В этом случае получим
Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в конце линии z = 0:
Тогда при z = 0 найдем

Подставив полученные значения коэффициентов, после преобразований получим:
Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует. Тогда следует положить BU = 0, BI = 0:
.

На рисунке 2 представлена затухающая синусоида прямой волны. Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны.
Уменьшение амплитуды напряжения или тока зависит от параметров линии, которые в свою очередь, определяются конструкцией кабеля. Различают первичные и вторичные параметры передачи.

ПЕРВИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЕРЕДАЧИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
Электрическое сопротивление кабельной цепи это достаточно сложное понятие т.к. это сопротивление определяется как параметрами цепи на постоянном токе, так и ее характеристиками на переменном, т.е. Z=R+jωL, где L это индуктивность цепи.
ПОСТОЯННЫЙ ТОК.
Электрическое сопротивление токопроводящей жилы кабеля, провода или шнура постоянному току, равно
где ρV - удельное сопротивление, равное - для алюминия 0,0263 ом*мм2/м, для меди 0,01752 ом* мм2/м и для стали 0,139 ом*мм2/м.
Обычно сопротивление жил кабеля и провода пересчитывают на длину 1 км и сечение 1 мм2 и приводят к +20° С по формуле:
где α — температурный коэффициент, для алюминия, равный 0,00403, меди — 0,00393 на 1°С при 20° С.

ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
Полное сопротивление цепи на переменном токе складывается из четырех составляющих:
где
R0 - сопротивление постоянному току;
RПЭ - увеличение сопротивления за счет по­верхностного эффекта; RБЛ – увеличение сопротивления за счет эффекта близости;
RМ – увеличение сопротивления за счет потерь в окружающих металлических массах (в соседних жилах и в металлической оболочке кабеля).

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ
Плотность тока на поверхности проводников на высоких частотах максимальна на поверхности и убывает по мере проникновения в глубь проводника. Это явление получило название поверхностного эффекта (скин-эффекта). Скин-эффект особенно ярко выражен в металлах вследствие их высокой проводимости.
Будем рассматривать металл достаточно далеко от плазменного края. Плазменный край - это предел изменения характера отражения, где впервые возникает полное отражение на частоте плазменного резонанса wр+. С учетом магнитных свойств было получено выражение для глубины проникновения,
где Ϭо - статическая удельная проводимость, µ0= 4π10-7 Гн/м -магнитная постоянная. Для меди Ϭо (300ºК)=6,5.10-4 Ом-1см-1. В диапазоне мегагерц глубина проникновения составляет всего лишь около 100 мкм. Следовательно, хорошие проводники очень сильно экранируют внешнее электромагнитное поле.

ЭФФЕКТ БЛИЗОСТИ
Проявляется только в проводниках расположенных в непосредственной близости друг от друга (симметричные пары). Величина kб (коэффициент эффекта близости) может быть рассчитана по приближенной формуле:

ПОТЕРИ В ОКРУЖАЮЩИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МАССАХ
Окружающие металлические массы за счет проникновения в них электромагнитного поля также воздействуют на параметры цепи. Магнитное поле Н, создаваемое током, проходящим по жилам, наводит вихревые токи Iв.т. в соседних жилах кабеля, окружающем экране, металлической оболочке, броне и т. д. Вихревые токи нагревают металлические элементы кабеля и создают дополнительные тепловые потери энергии. Кроме того, эти токи создают поле обратного действия, которое воздействует на жилы кабеля и изменяет их параметры (возрастание активного сопротивления R, емкости С и уменьшение индуктивности L).
Дополнительное сопротивление (Rм) оценивается путем пересчета значений, определенных на частоте 200 кГц и приведенных в справочных материалах, на рабочие частоты по выражению

В результате выражение для активного сопротивление цепи симметричного кабеля на переменном токе,
где F(x) – табулированная функция которая отвечает за поверхностный эффект, а следующее слагаемое за эффект близости G(x) и H(x) также табулированные функции. К этому значению необходимо добавить сопротивление за счет потерь в окружающих металлических массах и все это умножить на коэффициент укрутки – χ, характеризующий относительное удлинение проводов при скрутке в пределах 1,03 – 1,08 в зависимости от типа скрутки.
+

АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОАКСИАЛЬНОЙ ПАРЫ
В отличие от симметричной пары или их группы в коаксиальных нет необходимости учитывать увеличение активного сопротивления за счет эффекта близости и потерь в окружающих металлических массах, т.к. в коаксиальной паре поле сосредоточено внутри пары и чем выше частота, тем его напряженность на внешней поверхности убывает, опять же за счет поверхностного эффекта. В результате, активное сопротивление коаксиальной пары будет определятся размерами проводников, их проводимостью на переменном токе – Υ и коэффициентом вихревых токов - k

В этом случае

ГРАФИК ЧАСТОТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ
f=0, R=R0
f , R ~√f

ИНДУКТИВНОСТЬ
Индуктивность цепи характеризуется отношением магнитного потока Ф к току I, создавшему этот поток:
Различают внутреннюю индуктивность – Lв , которая определяется магнитным потоком внутри проводника и поскольку существует поверхностный эффект с ростом частоты глубина проникновения поля в толщу проводника уменьшается, уменьшается магнитный поток Ф и внутренняя индуктивность падает.
Внешняя (наружная) индуктивность – Lн , определяется внешним магнитным потоком и поэтому зависит только от размеров проводника
Индуктивность проводников кабелей связи измеряют и нормируют в генри, милигенри (10-3 гн) и микрогенри (10-6 гн) на 1 км или 1 м.

Внешняя индуктивность одножильного провода, а также внешняя индуктивность коаксиального кабеля
Внутренняя индуктивность проводов коаксиальной пары, d – внутренний проводник, D – внешний проводник, зависит от частоты и магнитной проницаемости - µ материалов проводников:
Общая индуктивность коаксиального кабеля с медными внутренним и внешним проводниками µ=1:

ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПО СИММЕТРИЧНОЙ ЦЕПИ С УЧЕТОМ
ПОТЕРЬ
Для определения параметров симметричной цепи с потерями необходимо знать составляющие Ez и Нφ. Они определяют энергию, поглощаемую проводником из окружающего пространства. Мощность потока энергии поглощения для цилиндрического проводника выражается через уравнение Пойтинга:
где R - активное сопротивление проводника; L - внутренняя его индуктивность; Еz - продольная составляющая электрического поля; *j H - сопряженное значение тангенциальной составляющей магнитного поля; r -радиус проводника.
Pзатух

Дифференциальное уравнение второго порядка для определения компонент поля имеет вид:
Для определения Еz и Hφ симметричной цепи используются ранее приведенные уравнения Максвелла в дифференциальной форме для цилиндрической системы координат.
Если сочетать систему координат так, чтобы ось z совпадала с осью проводника, то три составляющие поля Еr, Еφ, Hz будут отсутствовать, а остальные три могут быть определены из следующих уравнений:

- для проводников
- для диэлектриков
Составляющую Нφ определяем из ранее приведенного выражения:

В симметричных кабелях, в отличие от коаксиальных, нет симметрии в расположении электромагнитного поля вокруг проводника, т.е. необходимо учитывать изменение поля по тангенциальной составляющей
Это выражение характеризует искажение поля и соответственно действие эффекта близости между проводниками.
Решение приведенного выше дифференциального уравнения для металла имеет следующий вид
где In и Kn - модифицированные цилиндрические функции первого и
второго родов n-го порядка; А, В, С, D - постоянные интегрирования;
- коэффициент потерь для металла.
Поскольку поле внутри проводника возрастает от центра к периферии, а
функция Кn имеет падающий характер с увеличением аргумента, необходимо принять, что B = 0. В силу симметричного расположения проводников относительно горизонтальной оси, от которой ведется отсчет угла ψ, нечетная функция sinnψ отсутствует, поэтому Dn = 0. Имея в виду наличие n составляющих поля, находим составляющую Ez для проводников:

Соответственно составляющая магнитного поля
Полученные уравнения аналогичны уравнению для внутреннего проводника коаксиального кабеля. Отличие заключается в том, что в силу осевой симметрии для внутреннего проводника не учитывалось изменение поля по φ и п = 0. При учете эффекта близости n ≠ 0 , так как кроме основных оставляющих поля первого проводника возникает п составляющих поля за счет взаимодействия полей рядом расположенных проводников.
Для определения постоянных интегрирования An запишем выражения напряженностей электрического и магнитного полей в диэлектрике, окружающем проводники.
Для диэлектрика уравнение имеет вид

Решением данного уравнения является
Составляющая магнитного поля
где Вn , Сn — постоянные интегрирования, для нахождения которых используются следующие условия:
непрерывность продольных составляющих электрического поля на границе проводник-диэлектрик:
непрерывность тангенциальных составляющих магнитного поля:

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ R И L В СИММЕТРИЧНОМ КАБЕЛЕ
При парной скрутке р = 1, при звездной р = 5, при двойной парной – р = 2.
Окончательное выражение для расчетк сопротивления симметричной цепи с учетом типа скрутки – к-т p, и с учетом укрутки пар – к-т

ИНДУКТИВНОСТЬ СИММЕТРИЧНОЙ ЦЕПИ
Выше было определено значение внутренней индуктивности проводников.
Индуктивность цепи в целом определяется суммой внешней Lн и внутренней Lв
Тогда общая индуктивность симметричной кабельной цепи, Гн/км :

ЧАСТОТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ИНДУКТИВНОСТИ ПРОВОДНИКОВ
Lв
Lн

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
Емкость коаксиальной пары, включая радиочастотные кабели определяется выражением:
Емкость кабелей измеряют и нормируют в микрофарадах
(10-6 ф), нанофарадах (10-9 ф) и пикофарадах (10-12 ф) на 1 км или 1 м.
Емкость радиочастотных коаксиальных кабелей с многопроволочным внутренним проводником
где k3=0,98/0,99 — коэффициент, учитывающий форму внешнего проводника и представляющий собой отношение емкости кабеля с внешним проводником в форме оплетки к емкости кабеля с.внешним проводником в форме сплошной трубы; dэ — эквивалентный диаметр, мм.

СИММЕТРИЧНЫЕ ПАРЫ
Емкость одной жилы двухжильного кабеля в общей металличе­ской оболочке и одной жилы симметричного экранированного радиочастотного кабеля (обе жилы имеют равные по величине, но противоположные по знаку потенциалы). Емкость неэкранированного двухжильного (симметричного) кабеля

Частичные емкости в четверке С10, С20, С30, С40 – емкости по отношению к металлической оболочке, С12, С13, С14, С23, С24, С34 – емкости между проводами четверки.
Емкость многопарных кабелей связи в общем виде с учетом системы скрутки и величины укрутки жил:
ψ – коэффициент скрутки, характеризующий удаление жил от заземленной оболочки, зависит от типа скрутки, при большом удалении, ψ =1. Численные значения поправочного коэффициента ψ в зависимости от отношения диаметров жилы по изоляции (d1) к диаметру жилы (d) приведены в таблице (ΨП – парная скрутка, ΨЧ – четверочная скрутка, ΨДП – двойная парная).

Для оценки целесообразней всего воспользоваться таблицей со значениями коэффициентов для различных видов скрутки
Расчет эквивалентного значение tgδЭ для сложной (комбинированной) изоляции осуществляется в соответствии с объемами материалов (V1, V2) и их диэлектрической проницаемостью (ε1, ε2) по выражению:
При непрерывной и одинаковой по длине изоляции соотношение объемов можно заменить соотношением площадей поперечного сечения.

ПРОВОДИМОСТЬ ИЗОЛЯЦИИ
Проводимость изоляции между токоведущими жилами кабеля в общем случае складывается из двух составляющих:
G0 - проводимость изоляции на постоянном токе, равная 1/Rиз;
Gf – проводимость изоляции на переменном токе,
Для кабелей, имеющих сопротивление изоляции более 3*1011 ом*м, и в кабелях связи, где потери на диэлектрическую поляризацию значительно больше потерь на тепло, проводимость определяется только на переменном токе.
Данные по параметрам изолирующих материалов, применяемых в кабельной технике можно найти в справочниках

ЧАСТОТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПРОВОДИМОСТИ ИЗОЛЯЦИИ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
f=0, G=G0