Евклид

Юный математик
Жил в начале III века до нашей эры
Сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого
времени, по своему происхождения грек, по месту жительства сириец,
родом из Тира.

Начало деятельности
Евклид родился в Афинах, учился в Академии
В начале III века до н.э. Переехал в Александрию. Там основал
математическую школу и написал для её учеников свой
фундаментальный труд, объединенный под общим названием
«Начала» (около 325 года до н.э.)

Три значительных открытия
Сформулировал теорему о деление с остатком
Придумал «алгоритм Евклида» - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезком
Начал изучать свойства простых чисел и доказал что их множество бесконечно

“Начала”
Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты “Начала”, состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора.
Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры.
3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.
В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, причем построение правильного пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду.
5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач.

Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5 в. до н. э. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита.
В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности и излагаются результаты, полученные Теэтетом.
В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии.
В 12-й книге с помощью исчерпывания метода Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.
В основу 13-й книги легли результаты, полученные Теэтетом в области правильных многогранников.
Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я во 2 в. до н. э., а 15-я в 6 в.

Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и
в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и
окружностей. Книге I предпосланы определения понятий,
используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер,
поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка
есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины".
"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению
точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и
ширину" и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
что все прямые углы равны между собой;
если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур(треугольников, параллелограммов и квадратов).
В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой.

Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.
Теория пропорций, разработанная в книге V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений.

Первые
определения книги V "Начал" Эвклида
1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей,
если она измеряет большую.
2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей.
3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.
4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.
5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.
6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные".
Книги VII, VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.)
Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками.
Книга XI посвящена стереометрии.
В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников.
Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

Другие сочинения
Вторым после “Начал” сочинением Евклида обычно называют
“Данные” введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат
также “Явления”, посвященные элементарной сферической
астрономии, “Оптика” и “Катоптрика”, небольшой трактат “Сечения
канона” (содержит десять задач о музыкальных интервалах), сборник
задач по делению площадей фигур “О делениях” (дошел до нас в
арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в
“Началах”, подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из
точно сформулированных физических гипотез и математических
постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их
существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в
сочинениях других авторов.