Фильтр Винера

Содержание

Слайд 2

Учебные вопросы:
1. Постановка задачи фильтрации.
2. Интегральное уравнение
оптимального фильтра.

Учебные вопросы: 1. Постановка задачи фильтрации. 2. Интегральное уравнение оптимального фильтра. 3.
3. Коэффициент передачи
оптимального фильтра.

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

Слайд 3

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

1. Постановка задачи фильтрации.

Например, пусть на вход

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. 1. Постановка задачи фильтрации. Например, пусть
приемника поступает смесь амплитудно-модулированного сигнала

и помехи n(t), т.е.

На вход некоторой системы (фильтра) поступает аддитивная смесь x(t) полезного сигнала s(t) и шума (помехи) n(t)

Желаемым выходом фильтра является, естественно, сигнал

Реакцией реального фильтра является оценка сигнала, т.е.

Требуется найти характеристики реального фильтра, выходное колебание которого y(t)=s*(t) отличалось бы от желаемого выхода y0(t)=s(t) с минимальной среднеквадратической погрешностью

(1)

Слайд 4

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

Так как рассматриваемые процессы эргодические, то усреднение

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. Так как рассматриваемые процессы эргодические, то
сводится к интегрированию (низкочастотной фильтрации).

Задача может ставиться несколько иначе: по известным значениям x(t) в прошлом и настоящем дать оптимальную оценку s*(t+∆), т.е. в будущем.

Слайд 5

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

2. Интегральное уравнение оптимального фильтра.

Более подробно рассмотрим

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. 2. Интегральное уравнение оптимального фильтра. Более
выражение (1). При этом учтем, что выходной сигнал искомого реального фильтра определится интегралом Дюамеля

(2)

Где g(τ)- импульсная характеристика искомого реального фильтра.
Для нахождения этой характеристики определим квадрат ошибки

(3)

Усредняя левую и правую части выражения (3), получим

(4)

Слайд 6

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

Учтем, что - энергия (дисперсия) сигнала s(t),

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. Учтем, что - энергия (дисперсия) сигнала

- взаимная корреляционная функция сигнала s(t) и принятого сигнала (принятой реализации) x(t),

- автокорреляционная функция принятого сигнала.

С учетом этого выражение (4) перепишется в виде

(5)

Пусть импульсная характеристика какого-то условного фильтра равна

(6)

Где h(t) - произвольная функция, не равная тождественно нулю;
Найдем среднеквадратическую ошибку фильтрации этого условного фильтра, для чего подставим в выражение (5) соотношение (6).

(7)

Слайд 7

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

Очевидно, что при ошибка фильтрации минимальна, так

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. Очевидно, что при ошибка фильтрации минимальна,
как в этом случае g(t)=g0(t).
Перепишем формулу (7) в следующем виде

(8)

Согласно выражению (5)

(9)

Введем обозначения

(10)

(11)

Слайд 8

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

Подставляя соотношения (9), (10), (11) в выражение

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. Подставляя соотношения (9), (10), (11) в
(8), получим

(12)

Условие минимума

откуда следует

(13)

С другой стороны, как было отмечено ранее, для обеспечения минимума необходимо, чтобы . Из выражения (13) следует, что Q=0.
Преобразуем выражение (10) следующим образом, поменяв порядок интегрирования и приравняв Q=0

Так как функция h(t) - произвольная функция, не равная нулю, то, следовательно, нулю равно выражение в квадратных скобках, откуда следует:

(14)

Слайд 9

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.

3. Коэффициент передачи оптимального фильтра.

Применяя к

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16. 3. Коэффициент передачи оптимального фильтра. Применяя
обеим частям выражения (14) преобразование Фурье и используя свойства спектра свертки двух функций, получим

(15)

Где Sxs(ɷ) - взаимный энергетический спектр сигнала s(t) и принятой реализации x(t) (смеси сигнала и шума);
K0(ɷ) - коэффициент передачи мощности оптимального фильтра;
Kx(ɷ) - энергетический спектр принятой реализации x(t) (смеси сигнала и шума).
Из выражения (15) следует

(16)

Если сигнал s(t) и помеха n(t) не коррелированны между собой (что практически всегда выполняется), то