Геометрия 9 кл

ГИА
демоверсия 2009 г

Часть 1
1 балл за правильный ответ
( № 1 - № 8 )

№1. Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются в точке С. Найдите угол MNC, если угол MCN равен 46°.
?
46°
67°
46°
23°
44°
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

№2. Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите радиус окружности, если ОВ=8, угол АОВ равен 60°.
60°
8
?
8
4
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

№3. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.
?
140°
70°
40°
80°
100°
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

№4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите высоту CH.
1 способ
По т. Пифагора: АВ2 = 92 + 122,
АВ2 = 225 , АВ = 15.
2) SABC = ½ · AC ·BC , SABC = ½ · 9 · 12,
SABC = 54.
C другой стороны: SABC = ½ · CH ·AB.
Имеем: 54 = ½ · CH · 15, 54 = CH · 7,5,
CH = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2
2 СПОСОБ
По т. Пифагора: АВ = 15.
По т. о пропорциональных
отрезках в прямоугольном
треугольнике:
АС2 = АВ · АH, 92 = 15 · AH,
AH = 81 : 15, AH = 5,4.
По т. Пифагора: AC2 = AH2 + HC2,
92 = 5,42 + HC2, HC2 = 51,84, HC = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2

№5. Длина окружности равна 29π. Найдите радиус этой окружности.
Ответ: ___________
C = 2 π R
29π
R = (29 π) : (2 π)
R = 14,5
R = 14,5

№6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите AC, если известно, что AB II CD.
Ответ: ____________
Δ ABO ~ Δ CDO (по двум углам)
=
6
9
10
OC
OC =15
15
АС = 25

№7. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, если ее основания равны 9 и 19, а высота равна 12.
Ответ: ____________
9
19
H
K
12
5
5
AB2 = 52 + 122
AB = 13
?

№8. В параллелограмме ABCD на стороне BC отмечена точка K так, что BK = AB.Найдите угол BCD, если угол KAD равен 20°.
Ответ: ____________
K
?
20°
20°
20°
40°

Часть 2
1 балл за правильный ответ в заданиях 9 - 11,
в зависимости от полноты ответа за задания № 12 и №13 выставляется от 0 до 2 баллов
( № 9 - № 12 )

№9. Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6 см. Найдите скалярное произведение векторов LM и LN.
Ответ: ____________
ПОДСКАЗКА
Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
60°
60°
60°
6
6
6
18

№10. Радиус окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника А1А2….А12,
равен . Найдите длину диагонали А1 А5.
Ответ: ____________
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
А11
А12
О
?
120°
ПОДСКАЗКА ( 2 )
ПРИМЕНИ ТЕОРЕМУ
К О С И Н У С О В
Квадрат стороны
треугольника
равен сумме
квадратов двух
других сторон
минус удвоенное
произведение этих
сторон на косинус
угла между ними.
15

№11. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 10 дм и 5 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько кг краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка АВ = 6 дм, а на 1 дм2 поверхности расходуется 0,012 кг краски?
Ответ: ____________
Sпрям = 10 · 5 = 50 (дм2)
SΔ = ½ ·2 · 5 = 5 (дм2)
Sфиг = Sпрям – 2 · SΔ = 50 – 2 · 5 = 40 (дм2)
0,012 ·40 = 0,48 ( кг)
0,48
10 дм
5 дм
6 дм
2 дм
2 дм

№12. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений всегда верны.
Ответ:________
1
Все углы ромба – острые.
Все высоты ромба равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба.
В ромбе с углом в 60° одна из диагоналей равна его стороне.
2
3
4
5
Неверно
Верно
Верно
Неверно
Верно
2, 3, 5

№13. BP и DK – высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершин тупых углов, причем точка P лежит между точками C и D, а точка K лежит между точками B и C. Отрезки BP и DK пересекаются в точке O. Докажите, что ΔCKD и ΔCPB подобны, а углы KOB и BCD равны.
А
B
C
D
P
K
1
2
3
Δ CKD ~ Δ CPB по двум углам.
О
4
5
Угол 4 равен углу 5.
( ч.т.д.)

Часть 3
( № 14 - № 15 )
За задание № 14 выставляется от 0 до 2 баллов.
За № 15 - от 0 до 3 баллов.