Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных функций

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простых дробей.
Функция вида
где Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, называется дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью.
Если n < m, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Если дробь неправильная – выделим ее целую часть:
где Sn-m(x), Rk(x) – многочлены степени (n – m) и k соответственно, причем k < m.

Пусть х1 - действительный корень знаменателя кратности r. Простыми (элементарными) дробями, соответствующими этому корню, называются дроби вида
где А1, А2, ..., Аr – действительные числа.
Пусть α ± iβ – пара комплексно сопряженных корней знаменателя кратности s, причем
(х – α – iβ)(x –α + iβ) = x2 + px + q, где D < 0.
Простыми дробями, соответствующими этой паре корней, называются дроби вида
где Mj x + Nj (j = 1, 2, …, s) – многочлены первой степени с действительными коэффициентами.

Пусть x1, x2, …, xk – все действительные корни многочлена Qm (x) в знаменателе, кратности которых соответственно равны r1, r2, …, rk; , …, –
все пары комплексно сопряженных корней этого же многочлена кратности s1, s2, …, sl соответственно.
Напомним, что многочлен в этом случае может быть разложен на множители, то есть представлен в виде
где
r1 + r2 +...+ rk + 2(s1 + s2 + ... + sl) = m.
ТЕОРЕМА.
Всякая правильная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы элементарных дробей, соответствующих всем корням знаменателя.

При выполнении разложения правильной рациональной дроби
в сумму простых дробей обычно используют так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:
Для данной дроби пишется разложение, коэффициенты которого считаются неизвестными.
После этого обе части полученного равенства приводятся к общему знаменателю.
У получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
В результате получается система m линейных уравнений с m неизвестными, которая в данном случае имеет единственное решение.

ПРИМЕР 1.
х2 + х + 7 ≡ А(х + 2)2 +В(х + 2)(х – 1) + С(х – 1).
Для определения коэффициентов А, В, С получаем систему:
Итак, искомое разложение имеет вид
⇒
⇒

ПРИМЕР 2.
Итак, искомое разложение имеет вид
⇒
⇒
⇒

Интегрирование простых дробей.
Задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена, интеграл от которого является табличным, и правильной рациональной дроби, что приводит к нахождению интегралов следующих четырех типов:
При этом многочлен x2 + px + q не имеет вещественных корней, т.е. D = p2 – 4q < 0.

Выделим полный квадрат по х в знаменателях двух последних дробей и сделаем замену переменной, полагая
В результате получим интегралы вида
Здесь
- вычисляется по рекуррентной формуле,
полученной интегрированием по частям.

Под рациональной функцией двух переменных u и v понимается функция R(u, v), представимая в виде
где P и Q – многочлены относительно u, коэффициенты которых являются многочленами относительно v.
Например
Если переменные u и v, в свою очередь, являются функциями переменной х, то функция R(u(х),v(х)) называется рациональной функцией от u(х), v(х).
Например
Аналогично можно ввести понятие рациональной функции от m переменных.
Понятие рациональной функции от нескольких переменных.

Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических функций
Интегралы вида
Так называемая универсальная тригонометрическая подстановка
сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, так как
ПРИМЕР 3.

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Вместе с тем другие методы иногда позволяют вычислить данный интеграл значительно быстрее. В частности, подстановки вида
t = cosx, x ∈ (0, π);
t = sinx, x ∈ (– π/2, π/2);
t = tqx, x ∈ (– π/2, π/2).
ПРИМЕР 4.
ПРИМЕР 5.
ПРИМЕР 6.

Интегралы вида
Рассмотрим некоторые случаи, когда когда m и n целые (не обязательно положительные) числа. Например

Если оба показателя m и n положительны и четны (или один из них равен 0), то целесообразно применять формулы понижения степени
ПРИМЕР 7.

Интегралы вида
Интегралы этого типа непосредственно вычисляются, если в них подинтегральные функции преобразовать согласно формулам
ПРИМЕР 8.

Интегралы вида
Подстановка
сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, так как
Иногда при вычислении интегралов данного типа более эффективными являются подстановки t = chx, t = shx, t = thx, t = ch2x или метод интегрирования по частям.
ПРИМЕР 9.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегралы вида
где rk∈Q (k = 1, 2, … , n), a, b, c, d ∈ R, ad – bc ≠ 0,
подстановкой
(p – общий знаменатель рациональных чисел r1,r2, … , rn) приводятся к интегралу от рациональной функции одной переменной t.
ПРИМЕР 10.

Интегралы вида
После выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной интеграл может быть сведен к интегралам от функций следующих трех видов, каждый из которых может быть вычислен с помощью соответствующей тригонометрической подстановки:
– подстановка u =acost или u =asint;
– подстановка u =atgt или u =actgt;
– подстановка или

ПРИМЕР 11.
Итак, искомый интеграл мы свели к интегралу от рациональной дроби.

Рассмотрим часто встречающийся на практике интеграл
Для его вычисления предварительно выделим в числителе производную подкоренного выражения в знаменателе
В результате интеграл сводится к линейной комбинации интегралов
Интеграл
сводится к предыдущему подстановкой