Исследование насыщения рынка автомобилей

Используемый математический аппарат: математическое описание насыщения рынка автомобилей осуществляется с помощью обыкновенного дифференциального уравнения с начальными условиями.
Объектом исследования является рынок автомобилей в стране. Допустим, что к моменту начала исследований в стране было N легковых автомобилей. В течение ближайших лет предполагается производить по P легковых автомобилей в год. Средний срок службы автомобиля K лет.

Цель исследования: изучение динамики роста автомобилей в стране.
Для этого будем рассматривать процесс пополнения рынка (выпуск автомобилей) и процесс уменьшения количества автомобилей на рынке (ограничение срока службы автомобиля) в течение года. Для упрощения модели другие процессы, влияющие на динамику рынка, рассматривать не будем.
Состояние рынка характеризуется количеством автомобилей, действующих в определенный момент времени t. Пусть количество автомобилей на рынке является функцией от времени и составляет y(t) автомобилей.

По условию задачи срок службы автомобиля равен K годам, следовательно, в среднем, выходит из строя в год доля, равная 1/K. Значит, интенсивность процесса выхода автомобиля из строя равна j(t)=1/K.
Количество автомобилей за промежуток времени Δt увеличится на количество автомобилей, произведенных за этот период времени. Таких автомобилей будет P × Δt.
Количество автомобилей на рынке страны за промежуток времени Δt уменьшится на число автомобилей, вышедших из строя.
j(t) × y(t) × Δt.

Запишем уравнение баланса численности автомобилей на рынке за промежуток времени Δt
Δy = y(t + Δt) – y(t) = P × Δt – j(t) × y(t) × Δt
Разделим обе части уравнения на Δt
Δy/Δt = P - j(t) × y(t).
Переходя к пределу при Δt →0, получим в левой части уравнения производную, которую обозначим как y´(t) = P - j(t) × y(t).
Определив начальные значения и параметры уравнения, можем решить дифференциальную задачу Коши.

Положим, что T = 100, т.е. станем изучать динамику рынка в течение 100 лет, а начальным значением для t будет 1, то есть
t0 = 1. Начальным значением для y(t) является N число автомобилей в стране к моменту исследований, т.е y(1) = N. Пусть N = 2×106
Предположим, ежегодный выпуск автомобилей составляет 106, а срок службы автомобиля – 10 лет. Таким образом, P = 106, а K = 10.
,

Согласно алгоритму явной схемы Эйлера необходимо:
1) Построить расчетную сетку, для которой сначала подсчитаем количество и зададим нумерацию узлов сетки
τ = ti+1 – ti , n = T - t0 / τ, i = 0, …, n;
ti = t0 + i × τ ;
2) Записать конечно-разностное уравнение явного метода Эйлера для решения дифференциального уравнения
yi+1 = yi + τ × f(yi, ti),
где f(y, t) = P - j(t) × y(t).
Решением уравнения будет функция y(t), показывающая динамику насыщения рынка автомобилей в течение 100 лет.