Квадратные уравнения

Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Главное меню
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Кв. уравнения в Индии. Главное меню
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.
Задача знаменитого индийского математика Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам.....
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в. Главное меню
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение Главное меню
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным;
если a ¹ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия:a -первый коэффициент,
b - второй коэффициент, c - свободный член.
Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле
Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу в виде
Если b = 2k, то формула принимает вид:
Итак,
где k = b / 2.
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент, b - четное число.

Неполные кв. уравнения Главное меню
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Способы решения неполных квадратных уравнений:
1) c = 0 , то уравнение примет вид
ax2+bx=0.
x( ax + b ) = 0 ,
x = 0 или ax + b = 0 ,
x = -b : a .
2) b = 0, то уравнение
примет вид
ax2 + c = 0 ,
x2 = -c : a ,
x1 = или x2 = -
3) b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид
ax2 = 0,
x =0.

Полное квадратное уравнение Главное меню
Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением.

Теорема Виета Главное меню
Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член - буквой q:
Дискриминант этого уравнения D равен
Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня:
и
Найдём сумму и произведение корней:

Теорема, обратная теореме Виета. Главное меню
Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение
равно q, то эти числа являются корнями уравнения
Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнение
можно записать в виде
Подставив вместо x число m, получим:
Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:
По праву в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова:
В числителе С, в знаменателе А,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда-
В числителе b, в знаменателе a.

Кв. уравнения с комплексными переменными Главное меню
Сначала рассмотрим простейшее кв. уравнение
где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.
Задача1. Найти комплексные корни если а=-1
1) Т.к. =-1, то это уравнение можно записать в виде , или .
Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем
Ответ:
1)Имеет один корень z=0, если а=0;
2)Имеет два действительных корня
, если а>0.
3)Не имеет действительных корней, если a<0.

Решение кв. уравнений с помощью графиков. Главное меню
Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например
Решим уравнение
Для этого построим два графика(рис.1):
1)y=x2
2)y=x+1
1)y=x2, квадратичная функция, график парабола.
D(f):
2)y=x+1, линейная функция, график прямая.
D(f):
Рисунок 1
Ответ:
Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.
Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Разложение кв. трехчлена на множители Главное меню
Многочлен вида ax2+bx+c, где a,b,c - некоторые числа, x переменная, называется квадратным трёхчленом.
Пример 3x2+7x+9
Квадратный трехчлен разлагается на множители , где и корни трехчлена.
Дано: - квадратный трехчлен; и -корни его
Доказать:
Доказательство:
по теореме Виета следует,

Применение кв. уравнений Главное меню
Решение квадратных уравнений широко применяется в других разделах математики: в разложении квадратного трехчлена, в исследовании квадратичной функции, в решении уравнений высших степеней, в решении текстовых задач и задач по геометрии.
Некоторые уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному.
1) Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый - многочлен не выше 2-ой степени. Тогда приравнивая каждый многочлен к нулю, решаем полученные уравнения.
ПРИМЕР:
2) Если уравнение имеет вид ax2n+bxn+c= 0, его можно свести к квадратному, введя новую переменную t = x.
ПРИМЕР:
3) В геометрии:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Найти катеты, если один из них на 2 см. больше другого.
РЕШЕНИЕ: по теореме Пифагора a2+ b2= c2
Пусть х см.-1 катет, тогда (х+2) см.-2 катет.
Составим уравнение: x2+ (x+2)2= 102
Пифагор

Стр.1 Практикум Главное меню
Неполные кв. уравнения
Далее

Стр.2 Практикум Главное меню
Метод выделения полного квадрата.
Далее

Стр.3 Практикум Главное меню
Решение кв. уравнений по формуле b2-4ac
Далее

Стр.4 Практикум Главное меню
Приведённые кв. уравнения. Теорема Виета
Записать приведённое кв. уравнение, имеющее корни :
1) 2)
3) 4)
Решение
Воспользуемся т.Виета.
Далее

Стр.5 Практикум Главное меню
Решение кв. уравнений по теореме обратной т. Виета
Далее
1)Составьте уравнение, если
q=
p=
Ответ:
2)Составьте уравнение, если
q=
p=
Ответ:
3)Составьте уравнение, если
q=
p=
Ответ:
4)Составьте уравнение, если
q=
p=
Ответ:
5)Составьте уравнение, если
q=
p=
Ответ:

Стр.6 Практикум Главное меню
Решение задач с помощью кв. уравнений.
Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км.
Поезд до задержки x 150
Поезд после задержки x+15 450
По расписанию x 600
_____________________________________________________________________
Зная, что поезд был задержан на 1,5 часа, сост.ур
ОДЗ
Далее

Стр.7 Практикум Главное меню
Решение задач с помощью кв. уравнений.
Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км.
Вверх по реке 10-x 35
Вверх по протоку 10-x+1 18
V течения x
V притока x+1
_____________________________________________________________
Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, сост.ур
ОДЗ
Далее

Стр.8 Практикум Главное меню
Решение задач с помощью кв. уравнений.
Было Изменилось Стало
Первый год 20000 200x 20000+200x
Второй год 20000+200x 200x+2x 20000+400x+2x
_____________________________________________________________________
Зная, что за 2 года население около 22050, сост.ур
Ответ:5%
Далее

Стр.9 Практикум Главное меню
Решение кв. уравнений по формуле k2-ac.
т.к. D1<0, то корней нет.
Ответ: К.Н.
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ: