Математика и экономика Л.В.Канторовича

Инвентаризация памяти
19 января 2012 г. столетие со дня рождения Леонида Витальевича Канторовича, всемирно известного математика и экономиста. Вундеркинд, окончивший университет в 18 лет и ставший профессором в 20, академик по математике и лауреат Нобелевской премии по экономике — редкие обстоятельства жизни, достойные некоторого внимания сами по себе.
Однако извлечь из них полезные для себя выводы вряд ли возможно — события крайне редкие и маловероятные. Другое дело творческое наследие человека — сделанное для других остается, пока оно не забыто, испорчено или оболгано.
Юбилейная дата — повод для инвентаризации памяти. Вспоминая вклад нашего соотечественника в культуру, мы сохраняем его духовный мир для будущего...

Вклад в науку
Проективные множества
Пространства Канторовича
Линейное программирование
Метрика Канторовича — Рубинштейна
Рациональный раскрой
«Канторович и Акилов»
Оптимальные цены
Наилучшее использование ресурсов

Истоки математики и экономики
Становление науки как инструмента понимания — долгий и сложный процесс. Зарождение ординального счета фиксировано палеолитическими находками, отделенными десятками тысяч лет от явления разумного и хозяйствующего человека. Экономическая практика предваряет предысторию математики, сформировавшуюся в науку доказательных вычислений в Древней Греции примерно 2500 лет тому назад.
Целенаправленное поведение людей в условиях ограниченных ресурсов стало объектом науки совсем недавно. Датой рождения экономики как науки принято считать 9 марта 1776 г. — день публикации сочинения Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов».

Предмет математики
Предмет математики — количественные и пространственные формы человеческого мышления.
Математика функционирует как наука доказательных исчислений, постоянно обновляясь и наращивая объем накопленных знаний.
Со временем меняются требования к строгости доказательств и технологиям их получения, возникает деление математики начистую и прикладную.

Математика и экономика
Математика изучает формы мышления. Предмет экономики − обстоятельства человеческого поведения. Математика абстрактна и доказательна, а профессиональные решения математиков не задевают обычную жизнь людей. Экономика конкретна и декларативна, а практические упражнения экономистов основательно жизнь меняют.
Цель математики − безупречные истины и методы их получения. Цель экономики − индивидуальное благополучие и пути его достижения.
Математика не вмешивается в личную жизнь человека. Экономика задевает его кошелек и кошелку.
Список коренных различий математики и экономики бесконечен.

Математизация экономики
XIX век отмечен первыми попытками применения математических методов в экономике в работах Антуана Огюста Курно, Карла Маркса, Уильяма Стенли Джевонса, Леона Вальраса и его преемника по Лозаннскому университету Вильфредо Парето.
Математическая экономика − новация XX века. Именно тогда возникло понимание того, что экономические проблемы требуют совершенно нового математического аппарата.
К экономической проблематике обратились математики первой величины − Джон фон Нейман и Леонид Канторович. Теория игр как аппарат изучения экономического поведения илинейное программирование как аппарат принятия решенийпривели к стремительной математизации экономики.

Разрывы ментальности
Между точным и гуманитарным стилями мышления существуют принципиальные различия. Люди склонны к рассуждениям по аналогии и методу неполной индукции, рождающим иллюзию общезначимости знакомых приемов. Различия технологий не всегда выделены отчетливо, что, в свою очередь, способствует самоизоляции и вырождению громадных разделов науки.
Разница в менталитете математиков и экономисто затрудняет их взаимопонимание и сотрудничество. Невидимы, но вездесущи перегородки мышления, изолирующие математическое сообщество от своего экономического визави.

Консолидация мышления
Впечатляющее многообразие направлений исследований Канторовича объединяется как его личностью, так и его методическими установками. Он всегда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических иприкладных проблем математики и экономики.
Характерной чертой творчества Канторовича была ориентация на наиболее трудные проблемы и самые перспективные идеи математики и экономики своего времени.

Канторович и дескрипция
Первые работы Канторовича относились к популярной в те годы тематике дескриптивной теории множеств. Лидер этого направления Н. Н. Лузин в 1934 г. писал Канторовичу:
«Вы должны знать, каково мое отношение к Вам. Вас всего, как человека, я не знаю еще, но угадываю мягкий чарующий характер. Но то что я точно знаю − это размер Ваших духовных сил, которые, насколько я привык угадывать людей, представляют в науке неограниченные возможности. Я не стану произносить соответствующего слова − зачем? Талант − это слишком мало. Вы имеете право на большее...» .

Математизация социума
В 1920-1930 годы социальные феномены стали предметом невербальных исследований, требовавших создания специальных математических методов.
Существенно возросла потребность в статистической обработке данных.
Создание новых производств, внедрение передовых технологий, оборудования и материалов вызвали потребность совершенствования техники расчетов.
Бурному развитию прикладной математики способствовала автоматизация и механизация процесса вычислений.

Союз анализа и приложений
В 1930 годы прикладная математика стремительно сближается с функциональным анализом.
Существенную роль в этом процессе сыграли исследования Джона фон Неймана по математическим основам квантовой механики и теории игр как аппарата экономических исследований.
В России пионером и генератором новых синтетических идей стал Канторович.

Пространства Канторовича
Целостность мышления проявлялась во всем творчестве Канторовича. Идеи линейного программирования были тесно связаны с его методологическими установками в области математики.
В середине 1930 годов центральное место в математических исследованиях Канторовича занимал функциональный анализ.
Главным своим математическим достижением в этой области Канторович считал выделение специального класса порядково полных упорядоченных векторных пространств, которые в отечественной литературе именуют K -пространствами или пространствами Канторовича, так как в своих рабочих тетрадях Канторович писал о «моих пространствах» .

Принцип Канторовича
«В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы».
Канторович, Докл. АН СССР (1935).

Линейные неравенства
Пространства Канторовича дали рамки для построения теории линейных неравенств, необходимой в приближенных вычислениях для оценок точности. Концепция неравенств весьма приспособлена для задач, связанных с приближенными вычислениями, где существенную роль играют разнообразные оценки точности полученных результатов.
Поставщиком линейных неравенств была экономическая проблематика. Целесообразное и оптимальное поведение в условиях ограниченныхресурсов естественно формулировать в терминах частичного сравнения.

Место неравенств
Концепция линейных неравенств неразрывна с выпуклостью и, стало быть, геометрией и функциональным анализом.
Выпуклый многогранник − конечной системы линейных неравенств. В случае общего положениявыпуклые множества суть решения подходящих систем линейныхнеравенств.
Функциональный анализ предполагает наличие нетривиальных непрерывных линейных функционалов. Наличие такого функционала эквивалентно существованию непустого собственного открытого выпуклого множества в объемлющем пространстве.

Линейное программирование
Линейное программирование − техника максимизации линейного функционала на множестве положительных решенийистемы линейных неравенств.
Неудивительно, что открытие линейного программирования последовало вскоре за созданием основ теории пространств Канторовича.
Термин «линейное программирование» был предложен в 1951 г. американским экономистом Т. Купмансом. В 1975 г. Канторович и Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам с формулировкой «за ихвклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Особой заслугой Купманса стала пропаганда методов линейного программирования и защита приоритета Канторовича в открытии этих методов.
В США линейное программирование возникло только в 1947 г. в работах Джорджа Данцига.

Открытие в экономике
C оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Канторович выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина.
Концепция оптимальных цен и взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен − такова краткая суть экономического открытия Канторовича.

Универсальная эвристика
Абстрактные идеи Канторовича в теории K-пространств связаны с линейным программированием и приближенными методами анализа.
Идеи линейного программирования имманентны теории K-пространств. Выполнение любого из принятых вариантов формулировок принципа двойственности линейного программирования вабстрактной математической структуре неизбежностью приводит к тому, что исходный объект является K-пространством.

Функциональный анализ и
прикладная математика
В конце 1940 годов Канторович сформулировал и развил тезис о взаимосвязи функционального анализа и прикладной математики:
«Установилась традиция считать функциональный анализ дисциплиной чисто теоретической, далекой от непосредственных приложений, которая в практических вопросах не может быть использована. Цель ... в известной мере разрушить эту традицию, указать на связь функционального анализа с вопросами прикладной математики...».

Три технологии
Технологию мажорирования в общих упорядоченных векторных пространствах Канторович взял за основу исследования вариантов метода Ньютона в банаховых пространствах.
Дискретизация − приближение бесконечномерных пространств и операторов их конечномерными аналогами - связана с удивительным универсальным пониманиемвычислительной математики как науки о онечных приближениях общих компактов.
Новизна экстремальных задач, возникающих в социальных науках, связана с наличием многомерных
противоречивых целей, ставящих на первое место проблему согласования интересов или скаляризацию векторных целей.

Дискретизация
Подводя итоги своим исследованиям по общей теории приближенных методов, Канторович писал:
« Имеется весьма большое число различных методов для разных классов задач и уравнений, и их конструирование и исследование в каждом конкретном случае представляло немалые трудности. Поэтому возникла мысль о построении общей теории, которая позволяла бы их строить и исследовать из некоего единого источника. Эта теория основывалась на идее связи данного пространства, в котором задано исследуемое уравнение, с некоторым более простым, в которое исходное пространство отображается. На основе исследования ,,приближенного уравнения” в более простом пространстве открывалась возможность строить и изучать конкретные приближенные методы в исходном пространстве...».

Гипераппроксимация
Многообещающие возможности дисретизпции открывает новый метод гипераппроксимации, связанный с идеями инфинитезимального анализа. Классическая дискретизация использует аппроксимацию бесконечномерного пространства с помощью лежащих внутри его конечномерных подпространств. В рамках нестандартной теории множеств допустимо аппроксимировать бесконечномерные векторные пространства более широкими внешними конечномерными пространствами. Разумеется, размерности таких гипераппроксимаций представляют собой актуальные бесконечно большие натуральные числа.
Инфинитезимальные методы позволяют предложить и новые схемы гипераппроксимации общих компактных пространств. В качестве таких приближений к компактному множеству сверху могут выступать произвольные конечные внутренние множества, содержащие все стандартные элементы подлежащего аппроксимации компакта.

Скаляризация
Специфические трудности практических задач и необходимость сведения их к числовому случаю были связаны в творчествеКанторовича с размышлениями о природе вещественных чисел. Элементы своих K-пространств он рассматривал как обобщенные числа, тем самым развивая идеи, которые в наше время принято называть скаляризацией.
Скаляризация в самом общем смысле - это приведение к числу. Число представляет собой меру количества. Значит скаляризации имеет общематематическое значение.

Числа Канторовича
Скаляризация по Канторовичу связана с одной из самых ярких страниц математики прошлого века - с проблемой континуума. Метод форсинга Коэна был упрощен в середине 1960 годов сиспользованием аппарата булевых алгебр и новой технологииматематического моделирования, использующей нестандартные модели теории множеств.
Прогресс возникшего на этой основе булевозначного анализа продемонстрировал фундаментальное значение расширенных K-пространств. Каждое из таких пространств, как оказалось совершенно неожиданно, служит равноправной моделью вещественной прямой и, значит, играет в математике ту же фундаментальную роль.
Пространства Канторовича дали новые модели поля вещественных чисел и обрели бессмертие.

Уроки Канторовича
Противоречие между блестящими достижениями и детская неприспособленностью к практической линии жизни - один из важных парадоксов, оставленных нам Канторовичем. Сама его жизнь стала ярким и загадочным гуманитарным феноменом.
Интравертность Канторовича, очевидная в личном общении, совершенно неожиданно сочеталась с публичной экстравертностью. Отсутствие ораторского дара соседствовало с глубиной логики и особыми приемами полемики. Его внутренняя свобода и самодостаточность, мягкость, доброта и исключительная скромность стояли в одном ряду с целенаправленной жесткостью и неутомимостью на пути к поставленной цели.
Канторович дал нам образец наилучшего использования ресурсов личности в условиях внешних и внутренних ограничений.