Методы решения уравнений третьей степени

1. Простейший метод
A1. Решить уравнение
х³ = 8
и выберите правильный ответ:
-2-2; 2;
0;
;
2;
- .

2. Графический метод
A2. Найти решение уравнения - x3 = x + 2 в заданном промежутке:
1. 1. (0; +);
2. (-1; 0);
3. [-1; 0);
4. (-; -1);
5. (-3; -2].

3. Способ группировки
А3. Среднее арифметическое всех корней уравнения
х³ - 3х² - 4х + 12 = 0
равно
1) -1;
4) 2/3;
5) -3.
2) 1/3;
3) 1;

Решение:
х³ - 3х² - 4х + 12 = 0
х² (х - 3) - 4(х - 3) = 0
(х - 3)(х² - 4) = 0
(х - 3)(х - 2)(х + 2) = 0
х = 3, х = 2, х = -2
(3+2+(-2))/3=1
Ответ:3 (записывают на листах ЕГЭ ответ)

Способ группировки
В1.
б) Найдите сумму корней уравнения
х² + 6х + 5 = (х² - 1)(х + 3)
Решение

Решение:
х² + 6х + 5 = (х² - 1)(х + 3)
(х + 1)(х + 5) - (х - 1)(х + 1)(х + 3) = 0
(х + 1)(х + 5 - (х - 1)(х + 3)) = 0
(х + 1)(х + 5 - х² - 2х + 3) = 0
(х + 1)(-х² - х + 8) = 0
(х+1)(х²+х-8)=0
х=-1, х=-1+ , х=-1 -
х² + х – 8 = 0
Д = 1 + 32 = 33
х = , х =
-1 +( ) + ( ) = -1-1=-2
Ответ:-2

Способ группировки
в) Решение уравнений с модулем. Найдите наибольший корень уравнения
|х - 2|х² = 18 - 9х
! обратить внимание х²:
18 - 9х ≥ 0,
х ≤ 2.
Решение

Решение:
(-х + 2)х² = 18 - 9х
-х³ + 2х² - 18х + 9х = 0
х²(-х + 2) - 9(2 - х) = 0
(2 - х)(х² - 9) = 0
х = 2, х = 3, х = -3
удовл.усл. не удовл.усл. удовл.усл.
х≤2 х≤2 х≤2
Ответ: 2

4. Метод подбора.
Решить уравнение:
х³ - 3х² - 4х + 12 = 0
Решение

делители 12: ±1;±2;±3;±4;±6;±12
-1 не подходит
+1 не подходит
-2 подходит:
(-8-12+8+12)=0 0=0(верно) х²-5х+6=0 х1=2, х2=3 Ответ: -2;2;3
х³-3х²4х+12|_х+2_
Решение
x2-5x+6
х³+2х²
-5х²-4х
-5х²-10х
6х+12
6х+12
0

5. Искусственный метод
А4. Если многочлен
х³ + 2,5х² + 5х + 2
можно представить в виде
(2х + 1)(ах² + bх + с),
то сумма а+b+с равна
5) 5.
4) 3,5;
2) 2,5;
1) 4,51) 4,5;
3) 3;
Решение

Решение:
х³ + 2,5х² + 5х + 2 = (2х + 1)(ах² + bх + с)
х³+2,5х²+5х+2=2ах³+2bх²+2хс+ах²+bх+с
2а=1, а = = 0,5 а = 0,5
2,5=2b + а с = 2
5 = 2с+ b = 1
с = 2
а + b + с = 0,5 + 2 + 1 = 3,5
Ответ: 3,5

Молодец!