Моделирование функций в полярной системе координат и их связь с природой

Содержание.
Введение.
Цели.
Задачи.
Гипотеза.
Противоречие, проблема.
Предмет, объект исследования.
Понятие о полярной системы координат.
Исследование некоторых графиков функции и их связь с природой.

Введение
Я выбрал эту тему потому, что тему полярных координат не рассматривается в школьном курсе, но часто графики, построенные в полярных координатах, встречаются в жизни и их очень интересно строить с помощью компьютерных технологий. Я решил исследовать некоторые известные линии, построенных в параметрической системе координат и их связь с природой.

Цели.
1) подготовить наглядный материал для построения графиков функции;
2) способствовать развитию аналитических способностей и возможностей учащихся видеть прекрасное в такой точной науке как математика.

Задачи.
Построить, с помощью компьютерных программ графики функций.
Расширить понятия систем координат.
Рассмотреть графики кривых известных математиков в полярной системе координат.
Рассмотреть связь природы с графиками полярных координат.

Гипотеза.
Некоторые люди заинтересованы в изучении систем координат, но не многие знают, что кроме декартовой системы координат есть ещё и полярная система координат, цилиндрические, сферические, декартовые в пространстве.

Противоречие, проблема.
Противоречие.
В школе мы изучаем только одну систему координат, а существуют ли другие системы координат? Можно ли программировать построение графиков.
Проблема.
Можно ли строить графики, используя компьютерные технологии?

Предмет, объект.
Объект: Полярная система координат.
Предмет: Графики функции известных математиков.

Понятие о полярной системы координат.
Точку М на плоскости в полярной системе координат можно определить парой чисел (R, Z), где R – расстояние от полюса 0 и Z – угол между осью и прямой, соединяющей полюс и данную точку ( угол изменяется в направлении против часовой стрелки от оси).
Z
O
R
М

Исследование некоторых графиков функции и их связь с природой.
Спираль Архимеда:
Спиралью Архимеда называют кривую, задающуюся формулой:
R = a * Z,
где - a коэффициент пропорциональности, а R и Z - полярные координаты каждой из точек этой кривой.
Свойства этой спирали впервые были изучены Архимедом. Кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между двумя последовательными витками является постоянной величиной. Точек перегиба она не имеет.
Посмотреть график этой функции в программе QBASIC можно по этой ссылке. Например а = 3, fimin, fimax = 0, 50

Связь спирали Архимеда с природой.
Рога некоторых рогатых животных закручены по спирали Архимеда, например у вилорога и болотного козла. Бутоны розы тоже напоминают спираль. Так же спираль Архимеда используют в винтах самолетов и кораблей. Можно увидеть спираль Архимеда и в бытовых предметах.
Даже вселенная имеет вид спирали Архимеда.

Улитка Паскаля.
Улиткой Паскаля называют кривую, которая задаётся формулой:
R = 2a COS Z + b,
в которой a является коэффициентом пропорциональности, b - некоторым числом, а R и Z - полярными координатами каждой из точек этой кривой. Можно просмотреть улитку Паскаля по ссылке. Для примера можно взять значение а = 2, fimin, fimax = 0, 6,3

Связь улитки Паскаля с природой.
Улитка Паскаля очень часто встречается в природе. Листы лилии, листики некоторых деревьев, очертание ягод вишни, персика, яблока – всё это напоминает улитку Паскаля.

РОЗЫ.
Розы – это функции заданные в полярных координатах, имеющие вид
R = a SIN (b*Z), в которой a является коэффициентом пропорциональности, b - некоторым числом, а R и Z - полярными координатами каждой из точек этой кривой. Розы можно просмотреть по ссылкам:
1. Трёхлепестковая роза, где а = 2, fimin = 0, fimax = 6.3
2. Восьмилепестковая роза, где а = 2, fimin = 0,
fimax = 6.3
3. Четырёхлепестковая роза, где а = 2, fimin = 0,
fimax = 6.3

Связь роз с природой.
Розы встречаются почти везде. Почти каждый цветок – это роза.

Связь роз с пчелами.
Пчелы используют полярные координаты для обмена информацией об источниках пищи. Найдя новый источник пищи, пчела-разведчица возвращается в улей и исполняет танец, на языке которого рассказывает, где находится клумба. Причём всё это похоже на двулепестковую розу. Таким образом пчела-разведчица сообщает другим пчелам полярные координаты нового источника пищи.

Строфоида.
Строфоиды – это функции заданные в полярных координатах, имеющие вид
R = -a * cos(2 * Z) / cos (Z), где a является коэффициентом пропорциональности, а R и Z - полярными координатами каждой из точек этой кривой. График этой функции можно посмотреть по этой ссылке, в которой a = 10, fimin = -1, fimax = 1.

Связь строфоиды с природой
Строфоида похожа на простейшие организмы. Её силуэты напоминают рыбу. Строфоида выглядит как почка дерева, как воздушный шар.

Некоторые графики функции, в программе QBASIC
Спираль Галилея
Следующие спирали пока не имеют названий, т. к. они являются моим экспериментом.
Номер 1
Номер 2
Номер 3
Номер 4
Номер 5
Номер 6