Неравинства

ВВЕДЕНИЕ
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Архимед указал границы числа ∏ :
223/71<∏>22/7.
В «Математике собрании» Паппа Александрийского(||| в.) доказывается, что если a/b>c/d (a,b,c,d – положительные числа), то ad>bc.
Знаки< и > ввёл английский математик Т. Гарриот (1560-1621), знаки ≤ и ≥ французский математик П. Буге (1698-1758).

ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Для произвольных чисел a и b выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, a
b.
Число a больше числа b, если разность a-b - положительное число; число a меньше числа b, если разность a-b - отрицательное число.

ПРИМЕРЫ
Сравним 5/8 и 4/7. Приведём их к общему знаменателю: 5/8=35/56; 4/7=32/56. Так как 35>32, то 5/8>4/7.
Докажем, что при любых значениях a верно неравенство (a-3)(a-5)<(a-4)(a-4). Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её: (a-3)(a-5)-(a-4)(a-4)=-1. При любом a верно данное неравенство.

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Если a>b, то b
a.
Если a b
Еслиa
Если a
bc.
Если a и b - положительные числа и a
1/b.

Сложение и умножение числовых неравенств
Если a
Если a c
Если числа a и b положительны и a

Решение неравенств с одной переменной
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Решение систем неравенств с одной переменной
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему - значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

ПРИМЕРЫ
Решим неравенство 16х>13х+45. Перенесем слагаемое 13х с противоположным знаком в левую часть неравенства: 16х-13х>45. Приведём подобные члены: 3х>45. Умножим обе части на 1/3 : х>15.
Решим неравенство х/3 - х/2<2 . Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т.е. на 6. Получим: 6х/3 – 6х/2<12; 2х – 3х<12. Отсюда -х<12; х> -12.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Рациональные неравенств – это неравенства вида Pn(x)/Qm(x)>0(≥,<,≤0), где Pn(x) и Qm(x) – многочлены степеней n и m соответственно. Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов.

ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР .Множество решений неравенства (x² -7x+12)/(2x²+4x+5)>0 имеет вид
1)(-∞; 3)U(4; ∞) 2) (-∞; 3) 3) (3; 4) 4) (4; ∞) 5) (-∞;4).
РЕШЕНИЕ. Так как дискриминант знаменателя D1=4²-4*5*2 отрицателен и старший коэффициент положителен, то 2x²+4x+5>0 для любого значения x. Тогда заданное неравенство равносильно неравенству x²-7x+12>0 или (x-3)(x-4)>0.
Отметим корни и знаки квадратного трёхчлена
x²-7x+12 на соответствующих промежутках числовой оси.
Решением неравенства является множество (-∞; 3)U(4; ∞).
ОТВЕТ: 1.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР . Решить неравенство
(x-1)√x²-x-2≥0.
D(f)=(-∞;-1]U[2;+∞).
Х - 1≥0;
Х=1; Х>2;
Ответ: Х=1; Х>2.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Два тригонометрических выражения, соединённых между собой знаками «>» или «<», называются тригонометрическими неравенствами.
Решить тригонометрическое неравенство – это значит найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

ПРИМЕРЫ
Решим неравенство sinх>1/2. Все значения у на промежутке NM больше 1/2. NM стягивает дугу AB с началом в точке А(п/6; ½) и с концом в точке B(5п/6; ½). Следовательно, решением неравенства будут все значения на (п/6; 5п/6) с прибавлением 2пn, т.е. п/6+2пn<х< 5п/6+2пn, n принадлежит Z.

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ
При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:
f(х), если f(х)≥0,
|f(х)|=
- f(х), если f(х)<0.

ПРИМЕРЫ
Пример. Решить неравенство |х - 1|<2.
С помощью координатной прямой устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал ( - 1; 3).

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
f(x) g(x)
При решении неравенств вида а>а следует помнить, что х
показательная функция у=а возрастает при а>0 и убывает при
0
1, от данного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x).
В случае же, когда 0

ПРИМЕРЫ
Пример . Решить неравенство 3х+7 2х - 1
2 < 2. Решение. Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: 3х+7<2x – 1.
3х – 2х<-1 – 7;
х< - 8;
Ответ: х< - 8.

НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ.
Неравенство
(a, b, c, …, k , x)> (a, b, c, …, k , x),
где a, b, c, …, k – параметры, а x действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

ПРИМЕРЫ
Пример. Найти значение параметра а, при котором наименьшее решение неравенства (ах – 10)/х≥1 равно -2.
Решение. (ах – 10)/х – 1≥0 => ((а – 1)х – 10)/х≥0 => (а – 1)(х – 10/(а – 1))/х≥0. Пусть а – 1>0. Тогда последнее неравенство пишется в виде ( х – 10/(а – 1))/х≥0. Его решением является объединение множеств (-∞; 0)U[10/(а – 1); +∞], которое не содержит наименьшего отрицательного числа. Следовательно, а – 1<0 и тогда решением неравенства будет множество [10/(а – 1); 0). 10/(а – 1)=2; а – 1=5; а=-4.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении неравенств вида Logaf(x)>Loga g(x) следует помнить, что логарифмическая функция y=Logax возрастает при a>1 и убывает при 0
1, от исходного неравенства следует переходить к неравенству того же смысла f(x)>g(x). В случае же когда 0

ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР. Решить неравенство Log1/3 (2x+59)>-2.
РЕШЕНИЕ. Так как -2=Log1/3 9, то данное неравенство можно переписать в виде Log1/3 (2x+59)>Log1/3 9.
Далее имеем:
2x+59>0, x>-29,5,
2x+59<9; x<-25;
откуда -29,5

НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим неравенство f(x;y)>g(x;y). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство.

ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства x+y-1>0.
y>-x+1 ;