Нормирование и экстраполяция в нечётких моделях

Нормирование
Суть: перейти от рассмотрения величин, имеющих интервал значений [x min, x max] к рассмотрению нормированного интервала [-1, 1] или [0, 1].

Зачем нормировать?
Сходные модели для качественно подобных систем.
Как следствие, упрощение жизни разработчиков.

Как нормировать? (1)
+: Используется весь интервал [-1, 1].
-: Нули исходной и нормированной величины не совпадают.

Как нормировать? (2)
+: Дешевле вычислять.
-: Интервал используется не полностью. (за исключением симметричных интервалов)

Денормирование
На выходе нормированной нечёткой модели получаем выходное значение с симметричным интервалом [-1, 1].
Денормированное выходное значение может иметь асимметричный интервал изменения.
[-1, 1] -> [y min, y max]

Как денормировать? (1)
+: Используется весь интервал [y min, y max].
-: Нули исходной и нормированной величины не совпадают.

Как денормировать? (2)
Можно получить значение меньше y min!

Как денормировать? (3)
Y max недостижим!

Нормирование: итого
Нормирование и денормирование – линейные преобразования:
Нормированная нечёткая модель:

Экстраполяция
Экстраполяция – расширение поверхности модели на внешние области, для которых отсутствуют результаты измерений, где достоверность модели не подтверждена.

Пример
Что будет в точке c?

Угадаем?
Экстраполяция модели носит характер предположения!

Экстраполяция 0-го порядка

Экстраполяция 1-го порядка

Экстраполяция n-го порядка
Можно использовать экстраполяции более высоких порядков, однако полученные значения останутся лишь необоснованными предположениями.

Задача о приросте прибыли

Решение 1

Решение 2

Что значит μ(CE) > 1?
Значения в интервале [1, ∞) – степень сходства с типовым элементом нечёткого множества.
Значения в интервале (-∞, 0] – степень несходства или различия с типовым элементом нечёткого множества.

Примеры экстраполяции

Замечания
Расширение нечёткой модели не обязательно должно быть линейным.
Расширение области определения не должно быть большим – чем меньше, тем лучше.