Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):
Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

ОДУ первого порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция
Общее решение:
Пример: общее решение:

Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений:
-Уравнения с разделяющимися переменными,
-Однородные уравнения,
-Линейные уравнения,
-Уравнение в полных дифференциалах,
-и т.д.
Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.

Уравнения с разделёнными переменными.
Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию
f(x)dx + g(y)dy = 0,
Интегрируя, получим
- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример:
- общее решение

Уравнения с разделяющимися переменными.
Так называются уравнения вида
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение в форме:
затем делим на g(y) и умножаем на dx: .
Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение:
Пример:

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:
Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим
(это - уравнение с разделяющимися переменными),
- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

Пример:
- общее решение уравнения

Окончательно, получим общее решение:
Пример:

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:
здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.
Пример:

Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x).
Тогда
и уравнение приводится к виду:
или
Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными:
затем находим u(x) из уравнения:

Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками. Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример:
Решение:
и общее решение уравнения .

Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим в общее решение
Решение задачи:

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида
(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что
Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:
Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений
Из первого уравнения этой системы находим:
с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x.
Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

Пример: найти общее решение уравнения
Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.
.

Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

ОДУ высших порядков
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):
Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида
решается последовательным n-кратным интегрированием.
Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде :
y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.
Пример:

Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид
т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается
уравнение y(k)(x)= z(x).

Пример: Понизить порядок уравнения:
Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции:
Тогда
и уравнение примет вид

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.
Порядок уравнения
не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:
Пример: Понизить порядок уравнения:
Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем ,
тогда .
Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений
поэтому рассматриваем два случая: