OF_v_UMF_1_2

Определение линейного функционала

Определение линейного функционала

Линейный функционал

Свойства линейных непрерывных функционалов

Примеры
Пример 1. Доказать, что функционал f, заданный на C[−2, 2] и определяемый формулой
является непрерывным.

Пример 1

Пример 1
В первом переходе использовали неравенство треугольника для чисел и свойство интеграла:
Во втором переходе учли определение нормы в пространстве C[a, b], из которого следует, что для любого t из отрезка [a, b],

Пример 1

Пример 2
Пример 2. Функционал f задан на l3 и определяется формулой
Доказать, что это непрерывный функционал.
Решение. Линейность функционала очевидна (проверить).
Докажем неравенство
Согласно неравенству Гельдера для p и q удовлетворяющих условиям
имеем:

Пример 2
Возьмем
В результате получим:

Пример 3
Приведем пример линейного функционала, который не является непрерывным
Рассмотрим функционал
заданный на подмножестве пространства l2, в которое входят такие последовательности, что
Функционал f является линейным (док-ть).
Выберем последовательность

Пример 3
Нетрудно проверить, что для
С другой стороны,

Свойства линейных непрерывных функционалов

Свойства линейных непрерывных функционалов
Есть тесная связь между ограниченностью и непрерывностью функционала
Предложение 5. В нормированном пространстве линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Предложение 6. Функционал
заданный на множестве дифференцируемых функций пространства C[−1,1] является линейным и неограниченным

Свойства линейных непрерывных функционалов
Предложение 7.
Если
Предложение 8. Линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве, непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто.
Предложение 9. Линейный функционал f, определенный на линейном нормированном пространстве L, непрерывен тогда и только тогда, когда множества
Открыты в L.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Уравнения математической физики
Обобщенные функции

Обобщенные функции
0
Необходимость во введении понятий, называемых обобщенными функциями, возникла при попытке дать строгое описание сосредоточенных (в точке, на поверхности, т.д.) объектов, которые являются удобными физическими идеализациями. С другой стороны, обобщенные функции позволяют также с единой точки зрения рассматривать производные гладких и разрывных функций, преобразование Фурье убывающих и растущих функций и др., т.е. в них имеется и чисто математическая потребность. По своим свойствам обобщенные функции мало похожи на “обычные” функции, поэтому за ними закрепился также термин “распределения” (distributions).

Пространство основных функций

Пространство основных функций
Пример
проверьте в ее непрерывную дифференцируемость

Пространство основных функций
Предложение 1. 1
К является линейным пространством;
где h(х) не обязательно финитная.

Пространство основных функций
Определение 1.2. Последовательность функций
называется сходящейся в К,
если
1) существует конечный интервал, содержащий носители всех функций ,
2) на указанном интервале
При этом предельная функция лежит в К.

Примеры
Последовательность
стремится к нулю
Последовательность
не имеет предела в К.

Обобщенные функции над К

Обобщенные функции над К

Обобщенные функции над К
Сходимость интеграла обеспечивается на любом конечном интервале за счет предположений на функцию g(x), а на бесконечности - за счет финитности пробных функций.
Линейность и непрерывность выше определенного функционала легко проверяются.

Обобщенные функции над К. Примеры
Пример 1.2. Классическая функция Хэвисайда (функция единичного скачка) определяется как
и порождает функционал

Обобщенные функции над К

Обобщенные функции над К
Регулярная обобщенная функция соответствует множеству локально-суммируемых функций, отличающихся на счетном множестве точек.
Принципиальное отличие понятия обобщенной функции от классического понимания функции: мы не можем говорить о значениях обобщенной функции в точках.
Однако мы будем использовать обозначение f(x) для обобщенной функции, смысл которого прояснится позже.

Обобщенные функции над К
Упражнение 1.
Докажите, что если регулярные функции , порождаемые непрерывными функциями совпадают, то стандартные функции равны
Пространство не исчерпывается регулярными обобщенными функциями.
Важный пример — δ-функция Дирака.

Обобщенные функции над К

Обобщенные функции над К

Обобщенные функции над К
Определение 1.7. Линейные непрерывные функционалы, не являющиеся регулярными обобщенными функциями, называются сингулярными обобщенными функциями.

Операции над обобщенными функциями
Показывается какое-либо равенство для регулярных обобщенных функций.
Затем принимается это равенство по определению для всех обобщенных функций.
Подобного рода наводящие соображения лежат в основе всех дальнейших определений операций над обобщенными функциями.

Операции над обобщенными функциями
1) Сложение
2) Умножение на число
То есть, пространство является линейным
3)

Операции над обобщенными функциями
Пример.
то есть
В частности,
Замечание 1.2. Не удается разумным образом определить произведение обобщенной функции на разрывную и, тем более, произведение обобщенных функций.
О возникающих трудностях дает представление следующий пример: ясно, что для любого n следует считать равными
но для такого произведения не могут выполняться обычные правила дифференцирования.

Операции над обобщенными функциями

Операции над обобщенными функциями
Свойства производной
Производная суммы (разности)
Вынос константы
Производная произведения
Пример:

Теорема Л. Шварца

Операции над обобщенными функциями

Замена переменной обобщенной функции

Замена переменной обобщенной функции
В частности, при линейной замене переменной,
Пример 1.5.
(в частности, δ(−x) = δ(x)).

Замена переменной обобщенной функции

Сходимость в пространстве обобщенных функций
Определение 2.1. Последовательность обобщенных функций
сходится, если ∃f ∈ такая, что ∀ φ ∈ K
пишем
Такую сходимость называют “слабой”.
Ряд (слайд 52)
сходится, если
где

Сходимость в пространстве обобщенных функций
Определение 2.2. Последовательность функций называется δ-образной, если она сходится к δ-функции.
Упражнение. Докажите, что последовательность функций
является δ-образной
Пример δ-образной последовательности: рассмотрим последовательность (гладких) функций
Докажем, что

Сходимость в пространстве обобщенных функций

Сходимость в пространстве обобщенных функций

Сходимость в пространстве обобщенных функций

Формула суммирования Пуассона
Рассмотрим функцию f(x), заданную на отрезке [0, 2π] по формуле f(x) = x/2π и продолженную за пределы этого отрезка с периодом 2π.
Как и всякая периодическая функция, она раскладывается в ряд Фурье (который, как известно, сходится к самой функции в точках непрерывности и к серединным значениям в точках разрыва):
Функция f(x) локально-суммируема; соответствующую ей регулярную обобщенную функцию можно дифференцировать, и при этом применить почленное дифференцирование ряда Фурье.

Формула суммирования Пуассона
Получаем один из вариантов формулы суммирования Пуассона

ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Несмотря на то, что о значениях обобщенных функций в точках говорить бессмысленно, можно ввести понятие носителя обобщенной функции (т.е. множества точек, на которых она отлична от нуля) и, как следствие, можно сравнивать обобщенные функции на интервалах.
Определение 2.3. Обобщенная функция f называется равной нулю на интервале (a, b), если (f, φ) = 0 для всех основных функций φ, обращающихся в ноль вне интервала (a, b).
Обозначение:
Вместо интервала может быть произвольное множество I.
Определение 2.4. Две обобщенные функции совпадают на интервале (множестве I), если их разность равна нулю на этом интервале (множестве I).

ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Определение 2.5. Носителем обобщенной функции называется
Определение обобщенного носителя совпадает с классическим носителем регулярных обобщенных функций
Определение 2.6. Обобщенная функция называется финитной, если существует конечный интервал, содержащий внутри себя ее носитель.

ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Свойства носителя обобщенной функции

Обобщенные решения уравнения
Под обобщенным решением уравнения понимается такой функционал f, который анулирует действие левой части уравнения на любую основную функцию.
Предложение 2.3. Обобщенным решением уравнения
xf(x) = 0
является
f(x) = Cδ(x),
где C — произвольная постоянная.

Обобщенные решения уравнения

Обобщенные решения уравнения

Обобщенные решения уравнения

Обобщенные решения уравнения
По доказанному ранее
xf(x) = Cδ(x).
Частное решение последнего уравнения легко угадать:
Используя предложение 2.4. после переобозначения произвольных постоянных получаем искомую формулу.
Упражнение. Докажите (по индукции), что обобщенным решением уравнения
Является

Обобщенные решения уравнения
Пример. Уравнение
имеет общее решение

Степенные особенности

Обобщенная функция
Какой функционал отвечает классической функции 1 /x ?
Интеграл
не имеет смысла из-за расходимости в нуле. Смысл имеют, например, такие (но не только!) интегралы:
где supp φ(x) ⊂ [−R, R] .
Определение 2.8.

Степенные особенности
Отметим, что функционал
не зависит от R: действительно, ∀ R1, R2 таких, что
supp φ(x) ⊂ [−R1, R2],

Степенные особенности
Замечание.
Понятно, что если функция φ(x) равна нулю в окрестности нуля, то знак главного значения можно убрать; поэтому написанное выражение является регуляризацией функции
1/x в смысле определения 2.7. Предельный переход под знаком интеграла в смысле главного значения нуждается в дополнительном обосновании, поэтому в непрерывности этого функционала проще убедиться показав, что:
Предложение 2.5.

Степенные особенности
Доказательство.
причем в первом интеграле справа знак главного значения можно убрать, а второй — равен нулю.
Непрерывность функционала
следует из

Степенные особенности

Законы больших чисел
Сходимость последовательностей случайных величин
Неравенства теории вероятностей
Законы больших чисел
Центральная предельная теорема