Правила Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными
Определитель которой отличен от нуля:
(1)
(2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
(3)
где A - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
- столбец (Матрица-столбец) неизвестных
- столбец свободных членов системы (1)

Так как , то матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)
Где обратная матрица имеет вид :

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании. Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц. Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера:
(
)
(Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет.
Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:

Теперь из равенств
Где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:
откуда ввиду имеем