Представление числовой информации в ПКДиденко В.В.

Представление числовой информации в ПК
Формат с фиксированной точкой
(только целые)
Формат с плавающей
точкой
(вещественные)

Представление чисел в формате с фиксированной запятой
Целые числа. Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, запятая находится справа после младшего разряда.
Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит), 2 ячейки памяти (16 бит).
В k-разрядной ячейке может храниться 2k различных
значений целых чисел. (из 2х - 22=4, из 3х - 23=8, из 4х – 24=16 и т.д.)
Например, число А2=111100002 будет храниться в ячейке следующим образом:
Максимальное значение достигается, когда во всех ячейках будут 1.
Для n-разрядного представления 2n-1

Представление чисел в формате с фиксированной запятой
Целые числа без знака в двухбайтовом формате могут принимать значения
От 0 до 216-1 (до 65535)
Целые числа со знаком в двухбайтовом формате могут принимать значения
От -215 до +215-1 ( от -32768 до + 32767)
Например, 19 (100112) в 16-разрядном представлении в памяти ПК записывается так:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
поле числа
знак числа

Алгоритм внутреннего представления целого положительного числа N, хранящегося
в k-разрядном машинном слове:
Перевести число N в двоичную СС
Полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Пример 1. Получить внутреннее представление целого положительного числа 1607 в 2-х байтовой ячейке.
Решение
N= 160710=110010001112
Внутреннее представление числа:
0000 0110 0100 0111
Шестнадцатеричная форма внутреннего представления числа:
0647

Представление целого отрицательного числа
Формирование дополнительного кода
Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения.
Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен
2n - ׀A׀
Дополнение модуля отрицательного числа А до 0

Алгоритм внутреннего представления целого отрицательного числа N, хранящегося
в k-разрядном машинном слове:
Получить внутреннее представление положительного числа N.
Получить обратный код этого числа
заменой 0 на 1 и 1 на 0.
К полученному числу добавить 1.
Данная форма представления целого отрицательного числа называется дополнительным кодом.

Пример 2. Запишите дополнительный код отрицательного числа - 2002 для 16-разрядного компьютерного представления.

Примеры. Выполнить арифметическое действие 300010 - 500010 в 16-ти разрядном компьютерном представлении.
2) Сложим прямой код положительного числа с дополнительным кодом отрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде:
3) Переведем полученный дополнительный код в десятичное число:
Инвертируем дополнительный код: 0000011111001111
Прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрицательного числа:
0000011111001111
+ 0000000000000001
0000011111010000
Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -2000.
1) Представим положительное число в прямом, а отрицательное число в дополнительном коде:

Достоинства представления чисел в формате с фиксированной точкой
Простота
Наглядность представления чисел
Простота алгоритмов реализации арифметических операций
Недостатки представления чисел в формате с фиксированной точкой
небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, экономических и др. задач.

Задания
Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 1 байт?
От 0 до 255
Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти ПК для представления целого числа отводится 1 байт?
От -128 до 128
Компьютер работает только с целыми положительными числами. Каков диапазон изменения чисел, если для представления числа в памяти компьютера отводится 4 байт?
От 0 до 232-1
Каков диапазон изменения целых чисел (положительных и отрицательных), если в памяти ПК для представления целого числа отводится 4 байта?
От -231 до 231-1

Индивидуальная работа
Получить двоичную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке.
Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке.
По шестнадцатеричной форме внутреннего представления целого числа в 2-х байтовой ячейке восстановить само число.
Стр. 137 (И. Семакин, Задачник-практикум 1)

Представление чисел в формате с плавающей запятой
Базируется на экспоненциальной форме записи числа:
A = m *qn
m - мантисса числа
Q – основание СС
N – порядок числа
Для единообразия представления чисел используется нормализованная форма:
1/n <= |m| <=1 (правильная дробь и после запятой цифра, отличная от нуля.)
Пример. Преобразуйте число 555,55, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой: 555,55 =0,55555 * 103
Нормализованная мантисса: 0,55555
Порядок: n = 3

Пример
Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера 4 или 8 байт.
При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Любое вещественное число в современных ПК представляется в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой. При этом мантисса является правильной двоичной дробью, а порядок — целым числом.
Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.
888,888 = 0,888888 × 103
Нормализованная мантисса mА = 0,888888, порядок P=3.

Представление чисел в формате с плавающей запятой
Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность)
Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

Представление чисел в формате с плавающей запятой
1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт
в старшем бите 1-го байта хранится знак числа
0 – обозначает плюс, 1 – минус;
7 бит содержат машинный порядок;
в следующих трех байтах, хранятся значащиеся
цифры мантиссы (24 разряда).

В оставшихся семи разрядах 1-го байта
Помещается двоичное число в диапазоне
от 0000000 до 1111111, т.е. машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (всего 128).
Порядок м.б. положительным и отрицательным, разумно 128 значений делить поровну: от -64 до +63.
Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения.
Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению соответствовал нуль.
Машинный десятичное Математический Смещение
порядок число порядок
0000000 0 = - 64 +64
. . .
0001010 10 = - 54 +64
. . .
1111111 127 = 63 64
МР=Р+64

Алгоритм записи внутреннего представления вещественного числа
Перевести модуль числа в двоичную СС с 24 значащими цифрами.
Нормализовать двоичное число.
Найти машинный порядок в двоичной СС.
Учитывая знак числа, записать его в 4-х байтовом машинном слове.

Пример 1 . Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.
Решение
Переведем в двоичную СС:
50,187510=11111010, 00110000000000002
Запишем в форме нормализованного двоичного числа: 0, 11111010 0011000000000000 * 1021000
(мантисса, основание СС 210=102 и порядок 810=10002)
Вычислим машинный порядок в двоичной СС:
Мp2 = 1000 +100 0000 = 100 1000
Запишем число в 4-х байтовой ячейке:
0 1001000 11111010 00110000 00000000
31 24 23 0
Шестнадцатеричная форма 48FA3000

Пример 2 . По шестнадцатеричной форме внутреннего представления числа в форме с плавающей точкой CC98811000 восстановить число.
Решение
1. Перейдем к двоичному представлению числа:
1100 1001 1000 0001 0001 0000 0000 0000
1 1001001 10000001 00010000 00000000
23 0
2. В старшем разряде с номером 31 записана 1, значит получен код отрицательного числа. Получим порядок числа:
p=10010012 – 10000002-100012=910
3. Запишем в виде нормализованного дв. числа с плавающей точкой с учетом знака числа: -0,100000010001000000000000·21001
В двоичной системе СС число имеет вид: -100000010,0012
Переведем число в десятичную СС:
-100000010,0012=-(1*28+1*21+1*2-3)=-258,12510

Представление чисел в формате с плавающей запятой
Занимает в памяти ПК 4 (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность)
Выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.
Максимальное значение порядка числа:
11111112 = 12710
Максимальное значение числа составляет:
2127 = 1, 7014118346046923173168730371588 *1038
Максимальное значение положительной мантиссы равно:
223 -1 ~ 223 = 2(10*2,3) ~ 10002,3 = 10(2,3*3) ~ 107
Максимальное значение чисел обычной точности вычислений составляет 1,701411 *1038

Задания
Заполните таблицу:
Десятичное Прямой Обратный Дополнительный
число код код код
-50
-500
Определите диапазон представления целых чисел со знаком (2 байта памяти) в формате с фиксированной запятой.
Определите максимальное число и его точность для формата чисел двойной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 11 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака -53 разряда.

ОТВЕТЫ
2. От - 32 768 до 32 767.
3. Максимальное значение чисел двойной точности с учетом возможной точности вычислений составит 8,98846567431157 * 10307
(количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 15-16 разрядами).
1.