Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Например:
. Построив ее график
у наим.=-1\2, а у наиб.= 1\2
у
х
О
1
-1
1/2
-1/2

Можно рассуждать так
Значит yнаиб=3
С другой стороны
Значит унаим.=0
Можно находить наименьшее и наибольшее
значение без помощи графика

Пусть
y=f(х) непрерывна на отрезке [a, b]
Например:
а
b
Yнаим.
Yнаиб..
Yнаим.
Yнаиб..
а
b
0
0
у
х
х
у
Анализируя указанные геометрические модели,
можно прийти к следующим выводам:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка , так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(х) на отрезке [a, b].
Найти производную f\(x)
Найти стационарные ии критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a, b].
Вычислить значения функции у=f(х) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет у наим.) и наибольшее (это будет у наиб.).

Пример 1:
А) на отрезке [-4, 6]
Б) на отрезке [0, 6]
В) на отрезке [-2, 2]
Воспользуемся алгоритмом: имеем
Из условия у\ = 0 имеем

а) х=-3 и х=5 принадлежат заданному [-4, 6]
Составим таблицу значений функции
Таким образом унаим.=-174 (достигается в точке х=5);
унаиб.=82 (достигается в точке х=-3).

б) х=5 принадлежит [0, 6]
Составим таблицу значений функции
Таким образом, унаим.=-174 (достигается в точке х=5);
унаиб.=1 (достигается в точке х=0).

в) Отрезку [-2, 2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек
f(-2)=71
f(2)= -93
Таким образом, унаим.= -93
унаиб.= 71

Пример 2:

Составим таблицу значений функции
Ответ: унаим.= -3/25; унаиб.= 38

Теорема:
Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х=х0. Тогда
а) если х=х0 – точка максимума, то унаиб.=f(x0)
б) если х=х0 – точка минимума, то унаим.=f(x0)

0
0
y
x
y
x
a
b
a
b
унаим.
унаим.