Применение производной к исследованию функций

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 году научился находить касательные к алгебраическим прямым.
Как родилась производная
Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов, он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей. Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему.
В 1638 году Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который также занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Как родилась производная
Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую.
Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления, основоположниками которого считаются Вильям Лейбниц и Исаак Ньютон.
Исаак
Ньютон
(1642-1727)
Вильгельм
Лейбниц
(1646-1716)

Как родилась производная
Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления
Якоб
Бернулли
(1654-1705)
Джеймс
Грегори
(1638-1675)
Гийом
Франсуа
Лопиталь
(1661-1704)
Жозеф
Луи Лагранж
(1736-1813)
Леонард
Эйлер
(1707-1783)
Карл
Фридрих
Гаусс
(1777-1855)

Исследование функции:
D(f)
E(f)
Пересечение с координатными осями с ОХ (х;0) c OY (0;y)
четность или нечетность, т.е. f(-x)= f(x), f(-x)= -f(x)
нули функции т.е. f(x)=0
промежутки возрастания и убывания (монотонность)
промежутки знакопостоянства т.е. f(x)>0, f(x)<0
построение эскиза графика

Четность, нечетность функций
Периодичность
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Монотонность функции
Повторение
далее

Четность функций
Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство:
четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
График четной функции симметричен относительно оси ординат
у
х
0
f(-x) = f(x)
х0
- х0

f(-x0)
O
y = f(x)
Нечетность функций
Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение (–x) также принадлежит области определения и выполняется равенство:
График нечетной функции симметричен относительно начала координат
повторение
f(-x) = - f(x)

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 - период, что для любого значения x, взятого из области определения, значения (x + T) и (x – T) также принадлежат области определения и выполняется равенство
f(x) = f(x + T) = f(x – T)
y
1
2
4
3
-1
T
y = f(x)
Периодичность функций
повторение

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).
Нули функции
Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю.
Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0 Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x)
Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции:
1) либо пересекает ось абсцисс,
2) либо касается ее,
3) либо имеет общую точку с этой осью, ординаты данных точек нулевые, т.е. (х1;0), (х2;0), (х3;0)
повторение

Промежутки знакопостоянства
Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0
повторение
a

Монотонность функции
Определение: Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.
y = f(x)
y = f(x)
монотонно
убывает
y
x3
x2
x1
повторение

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительна, то функция на этом промежутке возрастает, т.е.f’(x)>0, f(x)⭧
Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательна, то функция на этом промежутке убывает, т.е.f’(x)<0, f(x)⭨
Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка равна 0, то функция на этом промежутке постоянна
Связь производной с монотонностью функции

f’(x)>0
f’(x)<0
К кас = tgα = f ’ (xo)

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует
Критические точки функции -
(4: 1/2)
f’(xi)=kкас =0,
касат II OX, перегиб графика, смена поведения
Нет производной

критические
точки
Достаточный признак возрастания или убывания функции
Пример: Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=х3 -3х2 +2
Решение:
1) f ’(x)=(x3-3x2+2)’=3х2-6х=3х(х-2)
2)Находим критичекие точки: f’(x)=0, т.е. 3х(х-2)=0 при х=0 х=2
3) Исследуем знак производной методом интервалов
Ответ: f (x)⭧ на (-∞; 0)∪ (2;∞)
f (x)⭨ на (0;2)

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Точка х0 называется точкой максимума (xmax ) функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
Окрестностью точки х0 - называется промежуток, для которого точка х0 является внутренней.

Точка х1 называется точкой минимума (xmin ) функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство
Точки минимума и максимума называются
точками экстремума (крайние, конечные)
Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции (ymin и ymax)
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции

max
min
max
Точки экстремумов хі

Обратите внимание!!!
Что происходит с производной при переходе через экстремальную точку?
Что происходит с самой функцией при переходе через экстремальную точку?
Производная меняет знак с «+» на «–» или наоборот
Функция меняет поведение с возрастания на убывание или наоборот

Достаточный признак возрастания или убывания функции
Если производная функции в каждой точке некоторого
промежутка положительна, то функция на этом
промежутке возрастает, т.е.f’(x)>0, f(x)⭧
Если производная функции в каждой точке некоторого
промежутка отрицательна, то функция на этом
промежутке убывает, т.е.f’(x)<0, f(x)⭨

Необходимое условие существования экстремума:
Точками экстремума функции могут быть только её
критические точки (в которых производная равна нулю или не существует), но этого не достаточно
Перегиб графика есть при х=0, но смены поведения нет, поэтому х=0 не является экстремальной точкой

Если производная при переходе (слева направо) через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка – это точка максимума
Если производная при переходе (слева направо) через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то данная точка – это точка минимума
Достаточное условие существования экстремума:

Найти точки экстремумов функции:
Решение различных типов задач

Найти точки экстремумов функции и экстремальные значения:

Найти промежутки убывания и возрастания функции:

Найти критические точки функции: