Применение производной в физике

Основная цель – определить физический смысл производной, рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом.
Девиз урока:
«Добывай знания сам!»

Что называется производной?
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

О происхождении терминов и обозначений производной и предела
Термин «производная» - буквально перевод французского слова derivee.
1797г – Ж.Лагранж ввел современные обозначения
И.Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию – флюентой.
Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как
Термин «предел» (lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница)) ввел И.Ньютон.

«Алгоритм нахождения производной»
В данной функции от x, нареченной игреком
Вы фиксируете x, отмечая индексом
Придаете вы ему тотчас приращение
Тем у функции самой вызвав изменение
Приращений тех теперь взявши отношение
Пробуждаете к нулю у стремление
Предел такого отношения вычисляется
Он производную в науке называется

В чем суть геометрического смысла производной?
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x:

Проблемная задача
Две материальные точки движутся прямолинейно по законам
В какой момент времени скорости их равны, т.е.

Сообщение учащегося о применении производной в физике.
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется по закону x(t), то скорость ее движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость
Производная от скорости по времени есть ускорение:
Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной Таким образом, ускорение движения в момент времени t равно т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Итак,

Если Q(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:
Если V(p) – закон изменения объема жидкости от внешнего давления p, то производная есть мгновенная скорость изменения объема при внешнем давлении, равном p.
Сила есть производная работы по перемещению, т.е.
Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е.

Решение проблемной задачи

Точка движется прямолинейно по закону
Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение.
а)
б)
Задача 1

Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по закону
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=3с.
Решение.
Задача 2