Применения производной к исследованию функций

Оглавление
Схема исследования функций;
Признак возрастания (убывания) функции:
Достаточный признак возрастания функции;
Достаточный признак убывания функции;
Критические точки функции:
Необходимое условие экстремума;
Признак максимума функции;
Признак минимума функции.

Схема исследования функций
Найти области определения и значений данной функции f.
Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование.
Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках.
Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Признак возрастания (убывания) функции

Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

Доказательство признака возрастания (убывания) функции
Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа:
f´

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции
Дано:
f (x) = -2x + sin x
Найти:
промежутки возрастания (убывания) функции
Решение
Функция определена на всей числовой прямой.
Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x.
| cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х.
Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой

Критические точки функции, максимумы и минимумы

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Примеры критических точек, в которых производная не существует

Признак максимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) < 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

Пример нахождения точек экстремума функции
Дано:
f (x) = 3x – x3
Найти:
Точки экстремума функции
Решение
Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2
f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1
f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак.
По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.