ПРОЕКТГеометрическая вероятность.

Основной вопрос:
Как связано понятие вероятности с геометрией?
Задачи:
Провести серию опытов.
Сформулировать геометрическое понятие вероятности.
Изучить литературу по данному вопросу.
Сделать выводы. Подтвердить или опровергнуть гипотезу.
Составить задачи на нахождение вероятностей.

Серия опытов.
Серия опытов, приводящих к определению вероятности из геометрических соображений.

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?
Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от размера карты (масштаба).

Опыт 1. Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?
ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия.
Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия.
Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Общий случай: в некоторой ограниченной области Ω случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?
А
Ω
L

Геометрическое определение вероятности
Если предположить, что попадание в любую точку области Ω равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей:
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.
Площадь закрашенной части квадрата 16см2 – 4см2 = 12см2.
Значит,

Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии?
Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями.
1
рубль

Опыт 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?
Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга:

Вывод.
Изучив литературу, мы пришли к выводу, что наше предположение верно, т. е. дали верное геометрическое определение вероятности.

Решение тренировочных задач.
Задачи 1 – 3.

Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ?
Решение.
A={точка Х попадает на отрезок АМ}, АМ=2см, АВ=12см,
2) В ={точка Х попадает на отрезок АС}, АС=2см+4см=6см,
3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см,
4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,
5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},
А М С В

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?
Решение.
а)
б)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.
Решение.

Итог.
Вопросы. Задача.

Вопросы:
Что такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)?
Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными?