Произведение функций

Содержание
1. Определение
2. Алгоритм построения
3. Пример 3. Пример 3. Пример №1
4. Пример №2
5. Выполнить построение

Определение
Произведением двух функций f(x) и g(x) называется функция h(x) с областью определения, являющейся общей частью областей определения f(x) и g(x), при этом значения функции h(x) = f(x) . g(x).

Алгоритм построения
1) Построить график функций y=f(x)
2) Построить график функции y=g(x) в той же системе координат.
3) В каждой точке перемножить длины отрезков, изображающие ординаты графиков, и построить отрезок полученной длины с учетом знака произведения.
Множество точек с полученными ординатами представляют график функции h(x)=f(x) . g(x)

Пример №1
Построить функцию y=x.x2

1) Строим график функции y=x
Графиком этой функции является прямая.
Биссектриса I и III координатных углов.

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
y=x
y=x
2
-2
2
-2

2) Строим график функции y=x2 в той же системе координат.
Графиком этой функции является парабола
Ветви направлены вверх
(т.к. a=1>0)
Вершина находится в точке O(0;0).

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
y=x
y=x
2
1 2 -1 -2
1
1
4
4

3) В каждой точке перемножить длины отрезков, изображающие ординаты графиков, и построить отрезок полученной длины с учетом знака произведения.

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
x=1 y=1*1=1
x=-1 y=1*(-1)=-1
x=0 y=0*0=0
x=-1,5 y=-1,5*2,25=-3,375
x=1,5 y=2*1,5=3
y=x
y=x
2
y=x ∙ x
2

Пример №2
Построить функцию y=x . cosx

Функция y=x .cosx является нечетной (она представляет собой произведение четной и нечетной функций), поэтому ее график будет симметричным относительно начала координат и его достаточно построить лишь для х>0.

1)Строим график функции y=x.
Графиком этой функции является прямая.
Биссектриса I и III координатных углов.

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
y=x
y=x
2
-2
2
-2

2)Построим график функции y=cosx.
Заметим, что в точках x=П/2+Пk, в которых cosx=0, функция равна нулю. В точках x=2Пk, где cosx=1, произведение равно 2Пk, т.е. эти точки лежат на прямой y=x, а в точках x=П+Пk, где cosx=-1, произведение равно –(П+2Пk), т.е. эти точки лежат на прямой y=-x.

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
y=x
y=-x
x
cos
0 П/2 П 3П/2
1
0
-1
0
П
П/2
3П/2
y=cosx

3) В каждой точке перемножить длины отрезков, изображающие ординаты графиков, и построить отрезок полученной длины с учетом знака произведения.

x
Y
1
2
-1
-1
1
2
-2
-2
y=x
y=-x
x=0 y=1*0=0
x=1 y=1*0=0
x=0,7 y=0,5*0,5=0,25
x=1,5 y=1,5*(-0,7)=-1,05
x=2 y=-1*2=-2
-2
3
x=3 y=3*0=0
y=cosx
y=cosx ∙ x