Производная

Производная
Возьмем какую-нибудь функцию, например
Дадим аргументу некоторое произвольное приращение
Разность называется приращением функции
Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е. дробь (А)
Величина этой дроби зависит и от величины x, и от величины h. Например, при x=2 и h=0,1 значение дроби равна 4,1; при x=3 и h=0,01 величина этой дроби равна 6,01 и т.д.
Если теперь мы станем приближать величину h неограниченно к нулю, то числитель и знаменатель дроби (А) станут одновременно приближаться неограниченно также к нулю. При этом величина самой дроби будет также изменяться.
Характер такого изменения трудно обнаружить, если ограничиваться рассмотрением отношения (А) лишь в том виде, как оно описано.

Если же сделаем следующие преобразования
,
То увидим, что при h 0 выражение 2x+h, следовательно и выражение
неограниченно приближаются к выражению 2х.
Таким образом, =2х
Выражение 2х представляет собой новую функцию, которая получилась из исходной функции с помощью определенного процесса. Этот процесс заключался в вычислении предела отношения приращения функции к приращению аргумента х при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Полученная с помощью такого процесса функция 2х называется производной от функции .
Процесс нахождения производной является новым математическим действием. Это действие обозначается поставленным над данной функцией знаком штрих . Например,

Производной от данной функции называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Примеры:
Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.
Если h произвольным образом стремится к нулю и если при этом отношение стремится к конечному пределу, то
говорят, что функция f(x) в точке дифференцируема.

Общие правила составления производных
1. Производные суммы равна сумме производных.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на производную первой.
4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя, минус произведение числителя на производную знаменателя, все разделенное на квадрат знаменателя.

5.Производная постоянной величины равна нулю.
6. Производная от аргумента равна 1.

Производная сложной функции и техника дифференцирования.
Пусть и
Если рассматривать отдельно равенство , то можно считать аргументом u, а функцией y. В этом случае производная от величины y по аргументу u выразится так:.
Мы здесь вместо обычного обозначения применили обозначение . Это мы сделали для того, чтобы в дальнейшем не перепутать между собой эту производную с другой производной, которая у нас еще появится.
Если рассматривать отдельно равенство u=sin x, то можно считать аргументом x, а функцией u.
В этом случае производная от величины u и по аргументу x выразится так:
.
Теперь станем рассматривать равенства и в их связи друг с другом. Очевидно , что каждому значению аргумента x будет соответствовать определенное значение u, а полученному значению u будет соответствовать определенное значение y. Следовательно, мы можем рассматривать величину y не только как функцию величины u, но и как функцию аргумента x.
Функцию y от x, заданную таким образом, называют сложной функцией от x, а величину u называют промежуточной переменной.
При такой постановке вопроса возникает задача – найти производную от величину y по аргументу x.

Придадим аргументу x приращение h, тогда величина u получит некоторое приращение , а после этого и величина y получит некоторое свое приращение .
По определению производной .
Но
Поэтому
Но и .
Поэтому
Значит,
Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна её производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой.

Примеры:
1)
2)
3)
4)

Механическая интерпретация производной
Известно, что функция
выражает путь, пройденный при свободном падении. Придадим аргументу t приращение h. Тогда приращение функции окажется равным
Отношение есть средняя скорость на промежутке
времени от момента t до момента t+h. Скоростью же в момент t мы называем тот предел, к которому стремится эта дробь при . Но этот предел по определению как раз есть производная функции .
Таким образом, оказывается, что производная от функции, выражающей пройденный путь при прямолинейном движении, выражает скорость этого движения. В этом и заключается механический смысл производной.

Вычислив
, найдем формулу скорости движения v=gt, где gt есть как раз производная функции
Эту производную можно было получить и так:
Кратко говорят: Производная от пути по времени есть скорость.
Пример: Пройденный путь в зависимости от времени выражается функцией
, где a и b – постоянные. Найти скорость движения.

Геометрическая интерпретация производной
К кривой PG проведена секущая АВ через две её точки М и N. Оставляя точку М неподвижной, вообразим, что точка N движется по кривой, неограниченно приближаясь к М. Тогда секущая АВ станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к предельному положению КТ. Это предельное положение секущей называется касательной к кривой в точке М.
Определение. Касательной к данной кривой
в данной точке М называется предельное
положение секущей, проходящей через данную
точку М и через другую точку N кривой, при
условии, что точка N приближается по
кривой неограниченно к неподвижной точке М.
Условимся называть тангенс угла между осью х
и касательной к кривой угловым коэффициентом
касательной
P
G
M
N
K
T