Решение комбинаторных задач с помощью бинома Ньютона и полиномиальной формулы

Цель:
Задачи:
изучить и применить бином Ньютона и полиномиальную формулу к решению некоторых комбинаторных задач
1) ознакомиться с формулой бинома Ньютона и ее свойствами, рассмотреть треугольник Паскаля и метод его построения;
2) ознакомиться с полиномиальной формулой как обобщением бинома Ньютона;
3) рассмотреть некоторые комбинаторные задачи, решаемые с помощью бинома Ньютона и полиномиальной формулы.

Язык перечислительной
комбинаторики

Бином Ньютона
и его свойства
1.Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, т.е. равно n + 1.
2. Сумма показателей степени a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома.
3. Общий член разложения имеет вид
4. Коэффициенты разложения, одинаково удаленные от концов разложения,
равны между собой . Правило симметрии
5. Правило Паскаля

Треугольник Паскаля
……………………………………………………..

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
70
2
6
20
3
3
4
4
5
5
10
10
6
15
15
6
7
21
35
35
21
7
8
28
56
56
28
8

Некоторые соотношения для
биномиальных коэффициентов
Полиномиальная формула

Задача № 1
Доказать, что делится нацело на 64 при любом натуральном n.
Доказательство.
Обозначив выражение в скобках через а, а N, имеем:
Полученная сумма делится на 64, что и требовалось доказать.

Доказать неравенство Бернулли
Задача № 2
c > 1 + n (c – 1), где с – произвольное число, большее 1, n – натуральное число, большее 1.
Доказательство.
Для каждого натурального n и чисел a = 1 и b = c-1 верны равенства
По условию b > 0 и n > 2. Следовательно, каждое слагаемое (их по меньшей мере три) в полученной сумме строго положительно. Значит,
> 1 + nb
и доказываемое неравенство верно.

Задача № 3
Найти разложение степени бинома
Решение.
Задача № 4
Найти разложение степени тринома