СА practice

Приклад 1: Визначити множину Парето, якщо задані наступні цільові функції
Порогові значення і обмеження задані:

Рис.1.1

Задачу вирішуємо графічно, для чого будуємо графіки f1 i f2.
З рис.1.1 видно, що для виконання нерівності f1 (x) ≤ f1 * необхідно щоб x ≤ 2 , а для f2 (x) ≤ f2* необхідно x ≥2. Тоді отримуємо, що множину Парето складає одна точка х=2.
На цьому можна зупинитися, але корисно провести якийсь розрахунок, який дає підтвердження цього результату:

Табличне подання

З таблиці видно, що
в крапці 2.
В даному випадку ми просто звузили область [1; 5], використовуючи принципи мінімакса і максиміна для сітки з кроком 1. Робота полягала в нормуванні величин функцій у вузлах сітки, використовуючи технічні обмеження, після - виборі величин і .

Звужена область - та, яка між стратегіями, що дають ці величини.
Отже, розумно припустити, що множина Парето х=2.

Приклад 2:
Знайти область Парето і звузити її (хоч би з одного боку)
якщо дано

Рис.1.2
Область Парето шукаємо графічно. Будуємо графіки f1 i f2 (рис.1.2) .

а) Шукаємо область, що задовольняє нерівності для f1:
б) Шукаємо область, що задовольняє нерівності для f2:

в) Загальну область шукаємо як перетин: [1;10] ∩ [0;8]=[1;8] , x ∈ [1;8] - область Парето, яку за умовою завдання необхідно звузити.
Звужуватимемо за принципом max min
віднормовані функції:

Такбличне представлення

Максимальним значенням з мінімальних є 0,05 .
Наслідком цього є те, що відсікаємо всі x<1, це не призводить до звуження.
Оскільки при вибраному кроці не відбулося звуження області, то зменшимо крок:

Табличне подання

Максимальним значенням з мінімальних є 0,103 .
Наслідком цього є те, що відсікаємо усі x<1,5 .
Тобто x = [1,5;8] - звужена знизу область Парето.

Приклад 3
Для заданих цільових функцій, граничних обмежень і нерівностей знайти область Парето і звузити її. Використовувати відомі принципи (при звуженні крок сітки брати рівним 0.1).
якщо дано

Рис.1.3

Шукаємо область Парето як множину, що задовольняє системі нерівностей:
Аналітичне вирішення системи нерівностей: х є [1;1,5]. Це і є множина Парето.
Звузимо його використовуючи принципи мінімакса і максміна, крок сітки рівний 0.1:

Табличне подання

З таблиці видно, що
в точці х=1.2. Згідно теорії звужена область Парето лежить між крапками, в яких досягається
і ,
тобто між х=1.2 і х=1.2.
Отже, відповідь х=1.2.