Сфера и шар

R
O
Определение сферы и её элементов.
Сферой называется поверхность, состоящая из точек пространства, расположенных на данном расстоянии (оно называется радиусом сферы) от данной точки (центра сферы).
Радиусом сферы называется любой отрезок, соединяющий центр сферы с точкой сферы.
Диаметром сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр.
Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра.
A
B
O

Z
Y
X
Уравнения с тремя переменными x, y, z а прямоугольной системе координат называется уравнением поверхности F , если:
этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F
координаты точек, не принадлежащих поверхности F, не удовлетворяют этому уравнению.
Например , z= 0 – уравнение плоскости Оху.
У

Z
O Y
В прямоугольной системе координат сфера радиуса R с центром C (x˛;y˛;z˛) имеет
уравнение:
(x-x˛)² + (y-y˛)² + (z-z˛)² = R²
Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы
x
x² + y² + z² = R²
O
R

Шаром называется конечное тело, ограниченное сферой.
или
Шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от данной точки на расстояние, не превышающее заданного.
Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара
Определение шара и его элементов
R
R
О

Полезная задача
Докажите, что сечения сферы , одинаково удалённые от её центра, имеют равные радиусы;
Из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы

Определение касательной
к сфере
Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая с данной сферой только одну общую точку ( касания).
Теорема (свойство касательной плоскости к сфере)
О
А
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости)
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

О
А
Касательной к сфере называется прямая, которая лежит в касательной плоскости и проходит через точку касания сферы и плоскости.
Касательная а имеет со сферой одну общую точку (точку касания А ) и перпендикулярна к радиусу сферы, проведённому в эту точку.
а
Типовая задача
Все стороны прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 16 см касаются сферы, радиус которой равен 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.
О
Решение задачи.
Из центра сферы проведём перпендикуляр (это расстояние от центра сферы до плоскости треугольника) к плоскости треугольника и радиус шара.
Перпендикуляр к плоскости треугольника пройдёт через середину гипотенузы треугольника, т.к. середина гипотенузы является центром окружности описанной около треугольника.
Рассмотрим треугольник ОАК. Найдём ОК.
А
К

Полезная задача
Докажите, что все касательные, проведённые из данной точки к сфере, имеют равные длины.
О
А
В
С

Задача 590.
Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом β к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.
β
α
О
М
А
D
E
B
1. Объяснить, как построить линейный угол двугранный угла, образованного плоскостями.
2. докажите, что перпендикуляр, проведённый из центра шара к секущей плоскости, проходит через центр сечения.
3. Найдите радиус сечения второй плоскостью.
4. Найдите площадь сечения.

Для решения задачи № 590 удобнее вынести чертёж и с помощью его уже решить данную задачу.
β
О
R
M
A
B
C