Системы счисления

Системы счисления
Системы счисления – искусственные системы, созданные человеком для удобной записи чисел.
Выделяют позиционные (системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число) и непозиционные (системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от местонахождения этой цифры в записи числа).
Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления

Основные определения систем счисления
Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.
Пример. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 для десятичной.
Базис позиционной системы – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.
Пример. 1,10, 102, …
Знаменатель P геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления называется основанием системы.
Традиционные системы счисления с основанием Р называются Р – ичными.

Основные определения систем счисления
Пример
Двоичная система счисления (2ичная система счисления)
Алфавит – 0,1
Базис – 1, 2, 22, …
Основание системы счисления – 2

Основные определения систем счисления
Позиционные системы делятся на:
Традиционные;
Нетрадиционные (факториальная система, фибоначчиева система);
Смешанные (системы счисления с основаниями q и p называются смешанными, если pm=q, где m – натуральное число).

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Алгоритм 1 (перевода целых чисел из Р-ичной системы счисления в десятичную)
Каждая цифра числа в Р-ичной системе счисления переводится в число в десятичной (для систем счисления с основанием, большим 10);
Полученные числа нумерируются справа налево, начиная с 0;
Десятичное число, соответствующее каждой р-ичной цифре, умножается на Рк, где к – номер этого числа из п. 2 и результаты складываются (все арифметические действия проводятся в 10-чной системе счисления).

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Алгоритм 2 (перевода конечной Р-ичной дроби в десятичную)
Целая часть переводится по алгоритму 1.
Каждая цифра дробной части числа в Р-ичной системе счисления переводятся в число в десятичной системе;
Полученные в результате преобразования дробной части числа нумерируются слева направо, начиная с 1.
Десятичное число, соответствующее каждой р-ичной цифре, умножается на р-к, где к – номер этого числа из п. 2 и результаты складываются (все арифметические действия проводятся в 10-чной системе счисления).

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Алгоритм 3 (перевода целого числа из десятичной системы счисления в р-ичную)
Делим исходное число а на р нацело в 10-чной системе и записываем в качестве нового значения десятичного числа а целую часть результата от деления;
Повторяем деление до тех пор, пока число а не станет равным 0, выписывая остатки от деления справа налево и получая при этом запись исходного числа в р-ичной системе счисления.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Алгоритм 4 перевода конечной десятичной дроби в р-ичную.
Целая часть числа переводится по алгоритму 3.
Умножим дробную часть числа на Р (основание новой системы счисления). Целая часть полученного произведения является первой цифрой после запятой в искомом числе (целая часть может быть как равной 0, так и быть больше 9, но она всегда меньше, чем Р);
Дробную часть произведения снова умножим на р, целую часть полученного числа заменяет на цифру в Р-ичной системе и приписываем ее справа к результату;
Выполняем пункт 2 до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной 0 или не выделиться период (дробная часть окажется равной уже получавшейся ранее дробной части произведения).

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Перевод чисел в смешанных системах.
Для того, чтобы перевести целое число из системы счисления с основанием Q в систему счисления с основанием P, необходимо каждую цифру в записи числа в системе Q отдельно перевести в систему с основанием P и дополнить, если это необходимо, полученные числа слева нулями так, чтобы каждое полученное число, за исключением левого, состояло ровно из m цифр.
Для того, чтобы перевести целое число из системы счисления с основанием P в систему счисления с основанием Q, необходимо запись числа в системе P разбить на группы по m цифр, начиная с правой цифры и каждую из групп из m цифр заменить одной цифрой в системе Q.