Сравнение систем быстрого счета при умножении по Трахтенбергу и Берману.

Содержание разделов
умножение на девять
правила умножения разных чисел по Берману и Трахтенбергу
возведение в квадрат двузначных чисел
умножение трехзначного числа на трехзначное число по Берману и умножение многозначного числа на многозначное по Трахтенбергу

Цель работы:
Облегчить и рационализировать вычисления;
Обеспечить большую надежность вычисления.

Задачи:
Изучить приемы быстрого счета по Трахтенбергу, Берману;
Произвести исследования систем быстрого счета при умножении, выявить закономерности, сходства и различия;
Отобрать приемы быстрого счета для практического применения.

Пальцевый счет
Умножение однозначного числа на 9 на пальцах рук
Это правило вывели в Древней Индии.
Пример: 4 х 9
Поставьте перед собой руки ладонями вверх. Начинаем счет с большого пальца левой руки. Отсчитываем четвертый палец, слева от этого пальца – десятки, их три, а справа от этого пальца – единицы, их шесть. Получается тридцать шесть.

Рим (I век до н.э.)
10 х (а-5) + (в -5) +(10-а) х (10-в)=ав
5
5

УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ.
(По Трахтенбергу)
Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата.
Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.
Первая цифра множимого становится левой цифрой результата. Это последний шаг.
Основные правила умножения на 11 :

Пример:
633 умножить на 11
Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Звездочки над множимым в нашем примере показывают цифры, используемые в каждом шаге при решении примера. Приступим к решению примера.
УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ
(По Трахтенбергу)

633 умножить на 11
Первое правило.
Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата:
633 х 11
3

Второе правило.
Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед 3 записываем результат 6:
633 х 11
63
633 умножить на 11

Применим правило еще раз:
6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:
633 х 11
963
633 умножить на 11

Третье правило.
Первая цифра числа 633, т.е. 6, становится левой цифрой результата: 633 х 11
6963
Ответ: 6963.
633 умножить на 11

УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ
(По Берману)
Берман вывел, что при умножении на 11 число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.
11=(10+1) – РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ

Пример: 110 х 11
110 х 11 = 110 х (10 + 1) = 110 х 10 + 110 х 1 = 1100 + 110 = 1210
Ответ: 1210

___ ___ ___
авс х 11 = авс х (10 + 1) = авс х 10 +
___
авс х 1 =
____ ___
= авс0 + авс
УМНОЖЕНИЕ НА ОДИННАДЦАТЬ
(По Берману)

УМНОЖЕНИЕ НА ДВЕНАДЦАТЬ
(По Трахтенбергу)
Правило умножения на 12 :
Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: 63 247 х 12
Напишите цифры множимого через интервал и каждую цифру результата пишите точно под цифрой числа 63 247, из которой она образовалась.

063247 х 12
4
дважды 7 будет = 14, переносим 1
063247 х 12 64
дважды 4 плюс 7 плюс 1 будет = 16, переносим 1
Пример: 63 247 х 12

063247 х 12
964
дважды 2 плюс 4 плюс 1 будет = 9
Следующие шаги аналогичны.
Окончательный ответ:
063247 х 12
758964
Пример: 63 247 х 12

УМНОЖЕНИЕ НА ДВЕНАДЦАТЬ.
(По Берману)
При умножении на 12 можно число умножить сначала на 6, а затем на 2.
6, в свою очередь, можно разбить на два множителя это 3 и 2.

Пример: 136 х 12
136 х 12 = 136 х 6 х 2 =816 х 2 =1632
Ответ: 1632

Пример: 136 х 12
136 х 12 = 136 х 3 х 2 х 2 = 408 х 2 х 2 = 816 х 2 = 1632
Ответ: 1632
Ответы двух примеров одинаковы.
Поэтому при умножении на двенадцать можно использовать любое из этих правил.

УМНОЖЕНИЕ НА ШЕСТЬ
(По Трахтенбергу)
Прибавить к каждой цифре половину «соседа»
Пример: 0622084 х 6
0622084 х 6
4
4 является правой цифрой этого числа, и, т.к. «соседа» у нее нет, прибавлять нечего.

Пример: 0622084 х 6
0622084 х 6
04
Вторая цифра 8, ее «сосед» 4. Мы берем 8, прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

0622084 х 6
504
Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней половину «соседа» 8 (4), т.е. 0+4, получаем 4, плюс перенос (1).
Пример: 0622084 х 6

Остальные шаги аналогичны.
Окончательный ответ:
0622084 х 6
3732504

Правило умножения на 6
Является ли «сосед» четным или нечетным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она четная, прибавляем к ней целую часть половины «соседа», если нечетная, то, кроме половины «соседа», прибавляем еще 5 .

Пример: 0443052 х 6
0443052 х 6
2
2 – четная и не имеет «соседа», напишем ее снизу
0443052 х 6
12
5 – нечетная: 5+5 и плюс половина «соседа» 2(1), будет 11, запишем 1 и в перенос (1).

0443052 х 6
312
Половина от 5 будет 2, и прибавим перенос (1), пишем 3.
0443052 х 6
8312
3 – нечетная, 3 + 5 будет 8.
Пример: 0443052 х 6

0443052 х 6
58312
4 + половина от 3(1), будет 5.
0443052 х 6 658312
4 + половина от 4(2), будет 6.
Пример: 0443052 х 6

0443052 х 6
2658312
ноль + половина от 4(2), будет 2.
Ответ: 2 658 312.
Пример: 0443052 х 6

УМНОЖЕНИЕ НА ШЕСТЬ (По Берману)
Умножить Число на шесть это все равно, что умножить на два и три, потому что, перемножив два и три, получится шесть, и поэтому ответ будет одинаков, если мы Число умножим на шесть и, если мы Число умножим на три и на два .

Пример: 18 х 6
18 х 2 х 3 = 36 х 3 = 108
Ответ: 108

Пример: 75 х 6
75 х 2 х 3 = 150 х 3 = 450
Ответ: 450

ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ
(Берман, Трахтенберг)
Нужно возвести в квадрат любое двухзначное число:
Пример: 43=43х43=1849
2
2
43
9
4 Х 3 Х 2
4
2
1849

Вывод:
ав
2
в
2
+
2 х а х в
+
а
2

Частный случай
5а
2
25+а
а
2

53
2
56
2

а5
2
а х (а+1)
5
2

35
2
15
2

2 2
15=1х(1+1) 5х5=225 51=5х5+1 1х1=2601
2 2
25=2х(2+1) 5х5=625 52=5х5+2 2х2=2704 2 2
35=3х(3+1) 5х5=1225 53=5х5+3 3х3=2809
2 2
45=4х(4+1) 5х5= 2025 54=5х5+4 4х4=2916
ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ
(Берман, Трахтенберг)

2 2
55=5х(5+1) 5х5=3025 55=5х5+5 5х5=3025
2 2
65=6х(6+1) 5х5=4225 56=5х5+6 6х6=3136
2 2
75=7х(7+1) 5х5=5625 57=5х5+7 7х7=3249
2 2
85=8х(8+1) 5х5=7225 58=5х5+8 8х8=3364
2 2
95=9х(9+1) 5х5=9025 59=5х5+9 9х9=3481
ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ В КВАДРАТ
(Берман, Трахтенберг)

УМНОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ТРЕХЗНАЧНОЕ (По Берману)
х 512
625
х 512 625
+ 300210
16. . .
х 512
625
300210
Пример: 512 х 625
х 512
625
+300210
16…
37..
х 512
625
+300210
16…
37..
9.
х 512
625
+300210
16…
37..
9.
320000
Ответ: 320000

УМНОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА МНОГОЗНАЧНОЕ (По Трахтенбергу)
37654 Х 498
301232
338886
150516 .
18751692
Используем правило умножения 37 654 на 8.
Используем правило умножения 37 654 на 9.
Используем правило умножения 37 654 на 4.
Результат получаем, сложив столбцы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Система быстрого счета по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. надо знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, надо в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучит их и научится применять на практике.
В системе быстрого счета по Берману, доминирует практическое направление основанное на закономерностях.
Обе системы заслуживают изучения и творческого осмысления.