Свойства функции у = tg х и ее график

Цели урока:
повторить раннее изученные свойства функции у=tgx;
научиться строить график функции у=tgx, используя данные свойства функции.
на основе анализа графика определить остальные свойства функции
научиться решать простейшие уравнения и неравенства с помощью графика функции.

Функция y=tg x и её свойства.
1. Обл. определения: .
2. Множество значений функции: уєR.
3. Периодическая, Т= π.
4. Нечётная функция.
хє[0;π/2)

Функция y=tg x возрастает на промежутке
1. Пусть 0 ≤ x1< x2< π∕2 и ,
2. Т. к. функция у=sin x возрастает на данном
промежутке, то sin х1< sin x2.
3. Т. к. функция у=соs x убывает на данном
промежутке, то соs х1> соs x2 и
(1)
(2)
4.Умножим нер-во (1) на нер-во (2) :
, т. е. tg x1< tg x2 .

Построение графика функции y=tg x.
y
x
1
-1
у=tg x

Построение графика функции y=tg x.
y
x
1
-1
у=tg x

Свойства функции y=tg x.
y
x
1
-1
у=tg x
Нули функции:
tg х = 0 при х = πn, nєZ
у(х)>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ.
у(х)<0 при хє (-π/2; 0) и при сдвиге на πn, nєZ.

y
x
1
-1
Свойства функции y=tg x.
у=tg x
При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена.
Рассмотрим т. х=π∕2.
Слева: sіn x→1, сosx→0 и
Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции у=tgx.

Свойства функции y=tgx.
1. Обл. определения: .
2. Множество значений функции: уєR.
3. Периодическая, Т= π.
4. Нечётная функция.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нули функции у (х) = 0 при х = πn, nєZ.
7. у(х)>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ.
8. у(х)<0 при хє (-π/2; 0) и при сдвиге на πn, nєZ.
9. При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена. Имеет точки разрыва графика и асимптоты.

Задача №1.
Найти все корни уравнения tgx=2 принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2.
Решение.
у=tg x
у=2
Построим графики
функций у=tgx и у=2
х1=arctg2
х2=arctg2 + π
х3=arctg2 - π
х1
х3
х2

Задача №2.
Найти все решения неравенства tgx ≤ 2 принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2.
Решение.
у=tg x
у=2
Построим графики
функций у=tgx и у=2
х1=arctg2
х2=arctg2 + π
х3=arctg2 - π
х1
х3
х2
3. хє(-π ; arctg2- π]U(-π ∕ 2; arctg2]U(π ∕ 2; arctg2+π]