Теорема о трех перпендикулярах

Задачи на доказательство
O
C1
D1
B1
A1
D
C
B
A

A
D
C
B
K

B
A
C
α
a
b
Среди точек прямой b точка В является ближайшей к точке А
Докажите, что она ближайшая к точке С

M
F
E
B
A
C
EF – средняя линия прямоугольного треугольника АВС, МЕ – перпендикуляр к плоскости этого треугольника

P
M
K
O
D
C
B
A

B
A
C
D
K
P
O

Через точку М проведены наклонная МВ и перпендикуляр ММ1 к плоскости угла АВС. Острые углы МАВ и МВС равны.
Докажите, что

B
A
C
M
M1
K
T

Задачи на построение
Отрезок МС перпендикулярен плоскости равностороннего треугольника АВС.
Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АВ
B
А
С
М

Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ
B
A
C
D
M

Отрезок МА перпендикулярен плоскости ромба. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой AC
B
A
C
D
M
O

Отрезок MN перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС
C
B
A
M
N

Отрезок MN перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС). Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВС.
A
В
С
М
N

Задачи на вычисление
A
B
C
D
O
M
K
L
15
8
17

A
B
C
P
5
13
300
12
10
√69

Найти: расстояние от точки М до сторон и диагоналей квадрата
4
2
√20
√2
3√2
A
M
D
C
B

Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 9см и 16см. Через середину гипотенузы - точку О проведен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 6см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до катетов и вершины прямого угла.
9
16
A
B
C
M
O
6
8
10
4,5
7,5

Отрезок MD перпендикулярен плоскости равнобочной трапеции ABCD(AB=CD).Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВС
A
B
C
D
M

Отрезок MC перпендикулярен плоскости прямоугольной трапеции ABCD(угол В –прямой ).Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АВ и AD
A
B
C
D
M

A
B
C
M

ABCD – ромб, OK – перпендикуляр к плоскости ромба. ОК=5см. Найти расстояние от точки К до сторон ромба, если его диагонали равны 40см и 30см.
20
15
5
25
12
13
M
A
D
C
B
O
K