Теорема Остроградского-Гаусса дискретного и непрерывного распределения зарядов

3.1. Основные определения.
3.2. Теорема Остроградского – Гаусса для дискретного и непрерывного распределения зарядов.
3.3. Применение теоремы Остроградского – Гаусса для случаев:
3.3.1. Заряженная плоскость.
3.3.2. Две разноименно заряженные плоскости.
3.3.3. Заряженная нить.
3.3.4. Заряженная сфера.
3.3.5. Заряженный шар.
3.4. Аналогия между электростатическим и гравитационным полями.
оглавление

если
3.1. Основные определения
1. Линейная плотность заряда
— это физическая величина,
численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины.
Рис.3.1. Линейная плотность заряда
(3.1)
(3.2)
то

.
2. Поверхностная плотность заряда
– это физическая величина,
численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади.
Рис.3.2. Поверхностная плотность заряда
(3.3)
(3.4)
,
если

3. Объемная плотность заряда ρ – это физическая величина, численно равная заряду, заключенному в единице объема
Рис.3.3. Объемная плотность заряда
(3.5)
(3.6)
,
если

— стационарное поле
поток через замкнутую поверхность
К оглавлению
где
— единичная нормаль к поверхности S.
Рис.3.4.
(3.7)
(3.8)
(3.9)
-

3.2. Теорема Остроградского-Гаусса
Пусть имеется уединенный точечный заряд. Рассчитаем поток вектора этого заряда через замкнутую поверхность, окружающую этот заряд.
Сфера.
Рис.3.5.Сфера
(3.10)

.
Поток вектора напряженности равен величине заряда, деленной на
Окружим заряд замкнутой поверхностью произвольной формы. Возможно два случая: выпуклая поверхность и поверхность с “морщинами”.
Рис.3.6.Выпуклая поверхность
В случае с выпуклой поверхностью результат такой же, как и для сферической, а во втором случае можно показать, что суммарный поток, создаваемый при пересечении линиями напряженности “морщин”, будет равен 0, т.к. при расчете скалярного произведения косинус угла между векторами
один раз будет
положительным, а в другой – отрицательным (знаки косинусов указаны на рис. 3.7).
Рис.3.7. Поверхность с “морщинами”.

Поэтому можно сказать, что поток вектора напряженности поля точечного заряда через произвольно замкнутую поверхность, окружающую этот заряд, равен величине этого заряда, деленной на
Пусть имеется система k точечных уединенных зарядов
Воспользуемся принципом суперпозиции.
(3.11)

.
В случаях, если имеется непрерывное распределение зарядов в некоторых телах, необходимо от операции суммирования перейти к операции интегрирования. Тогда получим:
заряженная линия
заряженная плоскость
Заряженное тело
К оглавлению
Поток вектора напряженности системы k точечных неподвижных зарядов в вакууме равен алгебраической сумме этих зарядов деленной на
(3.12.)
Теорема Остроградского-Гаусса в интегральной форме
(3.13)

3.3. Применение теоремы Остроградского – Гаусса
3.3.1. Поле заряженной плоскости
1. Линии напряженности перпендикулярны плоскости.
2. Их густота одинакова
в каждой точке одинаково.
Так как плоскость бесконечна, то исходя из соображений симметрии значение модуля
Рис.3.8. Поле заряженной плоскости

т.к. проекция вектора на нормаль к боковой поверхности равна нулю, то
К оглавлению
(3.14)

3.3.2. Поле разноименных плоскостей
Применим принцип суперпозиции:
К оглавлению
Рис.3.9. Поле разноименных плоскостей
Рис.3.10.
(3.15)

3.3.3. Поле заряженной нити.
К оглавлению
Рис.3.11. Поле заряженной нити
(3.16)

3.3.4. Поле заряженной сферы.
Поле внутри сферы.
Рис.3.12. Поле внутри сферы.
(3.17)

Поле вне сферы
Т. к.
, то
Если
К оглавлению
Рис.3.13. Поле вне сферы
(3.18)
(3.19)
(3.20)

3.3.5. Поле заряженного шара
Поле внутри шара.
Рис.3.14. Поле внутри шара.
(3.21)

Поле вне шара.
- обратно квадратичная зависимость.
К оглавлению
Рис.3.15. Поле вне шара
(3.22)

3.4. Аналогия и различия между электростатическим и гравитационным полями
Аналогично выглядит график зависимости ускорения свободного падения от расстояния(рис.3.18).
Рис.3.16.
Рис.3.17.
Рис.3.18.
На рисунке 3.16 изображен график зависимости напряженности электростатического поля от расстояния.