Теоремы синусов и косинусов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
НА ГОТОВЫХ
ЧЕРТЕЖАХ
ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Формулы площади треугольника
S=1/2ab, где а, в - катеты прямоугольного треугольника
S= 1/2ah, где а - основание треугольника, h- высота
S=
р-полупериметр, а,в,с-стороны треугольника

Теорема о площади треугольника
Дано:
ABC, BC=a, CA=b, S-площадь треугольника.
Доказать: S=1/2absinC
Док-во: S=1/2ah, h=bsinC.
Сл. S=1/2absinC

S - ?
В
А
С
8
6
30
S = 12
о

В
D
С
120
А
BD = 6, AC = 10 S - ?
S = 15

А
B
C
D
6
4
60
о
S - ?
S = 12

В
D
С
135
А
AC = 12 S - ?
S = 36
о

В
D
С
120
А
BD = 10, ВC = 5 CD - ?
CD = 5
о

А
B
C
D
8
4
60
о
ВН - ? ВК - ?
Н
К
ВН = 2 ВК = 4

А
В
С
Н
4
6
60
о
ВС = 2
АН - ?
АН =

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Дано: АВС
Доказать:
А
В
С

Доказательство:
S ABC = (1)
S ABC = (2)
S ABC = (3)
А
В
С

Приравняем равенства (1) и (2), получим
=
Сократим на , получим
=

Приравняем равенства (2) и (3), получим
=
Сократим на , получим
=

Объединив равенства
И
получим
ЧТД

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС
Доказать:

А
С
В
(bcosA; bsinA)
у
х
(с; 0)