Теоретические основы электротехники. Расчет переходных процессов в разветвленных линейных электрических цепях

Алгоритм расчета переходных процессов в разветвленных линейных электрических цепях классическим методом
сначала на основании правил Кирхгофа составляются в общем случае неоднородные дифференциальные уравнения состояния электрической цепи для мгновенных значений напряжений и токов отдельных ветвей (порядок каждого дифференциального уравнения определяется числом независимых реактивных элементов в рассматриваемой ветви; общее количество линейно независимых уравнений в системе равно количеству неизвестных токов в ветвях);
решение каждого из уравнений ищется в виде суммы принужденной (обусловленной действием источников составляющей тока или напряжения в установившемся режиме) и свободной (переходной) составляющих (в выражении переходной составляющей всегда присутствуют константы интегрирования, число которых соответствует порядку дифференциального уравнения);

система дифференциальных уравнений алгебраизуется (заменяется системой алгебраических уравнений путем применения оператора дифференцирования; этот пункт можно опустить и перейти к следующему);
составляется характеристическое уравнение системы;
(Характеристическое уравнение проще всего можно получить методом входного сопротивления из равенства:

если в составленной схеме нет короткозамкнутых ветвей, то размыкается любая ветвь, определяется входное сопротивление со стороны разомкнутой ветви и подставляется в уравнение (21.1) (для упрощения алгебраических преобразований целесообразно размыкать ветвь с наибольшим числом элементов, отдавая при этом предпочтение ветви, содержащей наибольшее количество емкостных элементов; если в схеме цепи после коммутации присутствует короткозамкнутая ветвь, то размыкаем ту ветвь, в которой рассчитываем переходный ток));
полученное характеристическое уравнение решается относительно оператора дифференцирования – находятся корни (количество корней характеристического уравнения равно порядку системы; если система состоит всего лишь из одного уравнения первого порядка, то свободная составляющая решения соответствующего однородного уравнения («без правой части») применительно к току равна:

(В случае квадратного характеристического уравнения, т.е. если рассматривается система уравнений второго порядка, возможны три варианта типа корней характеристического уравнения:

на основании условий, описывающих состояние системы в послекоммутационный период (в установившемся режиме) находятся принужденные составляющие полных решений дифференциальных уравнений системы;
на основании начальных условий, законов коммутации, а также используя найденные выше принужденные составляющие полных решений дифференциальных уравнений системы, находятся постоянные интегрирования уравнений системы;
найденные константы интегрирования подставляются в выражения для искомых токов или напряжений переходных режимов в ветвях рассчитываемой цепи
С целью упростить вычисления можно порекомендовать в качестве первоочередных искомых функций выбирать токи в ветвях с индуктивными элементами и напряжения на емкостных элементах

Расчет переходного процесса в разветвленной линейной электрической цепи с одним реактивным элементом
Рисунок 1 – К расчету переходного процесса в разветвленной линейной электрической цепи с одним реактивным элементом (конденсатором) при замыкании на источник постоянной ЭДС

Рисунок 2 – К нахождению принужденной составляющей тока, протекающего через источник ЭДС в послекоммутационный период

Рисунок 3 – Графики временных зависимостей токов в разветвленной электрической цепи при замыкании ее на источник постоянной ЭДС

Расчет переходного процесса в разветвленной линейной электрической цепи с двумя реактивными элементами
Рисунок 4 – К расчету переходного процесса в разветвленной линейной электрической цепи с двумя реактивными элементами при замыкании на источник постоянной ЭДС