ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Работа, совершаемая статически приложенной силой Fi , равна сумме элементарных
Итак,
Получено простое доказательство теоремы Клапейрона: действительная работа статически
прикладываемой к линейно деформированной системе силы равна половине произведения силы
на соответствующее ей действительное перемещение.
Если на систему действуют несколько сил, то
В общем случае действия разнотипных усилий выражение для действительной работы
можно представить в виде
где
-полные перемещения при одновременном действии всех сил. Смысл третьего
слагаемого станет понятен из рассмотрения системы на следующем рисунке

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Внутренние усилия препятствуют развитию деформации тела, поэтому при нагружении тела, не
имеющего начальных напряжений, работа внутренних сил отрицательна. Суммарная работа
Если q = const, то
– площадь эпюры перемещений под нагрузкой q.
где
внутренних сил
, взятая с обратным знаком, носит название потенциальной энергии
упругой деформации тела
Для определения U плоской стержневой системы рассмотрим элемент стержня длины ds.
Выразим dU – потенциальную энергию деформации, представленного на рисунке элемента
стержня через работу внешних по отношению к нему сил N, Q, М.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
dU – потенциальная энергия деформации, представленного на рисунке элемента стержня

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Потенциальная энергия упругой деформации плоской стержневой системы
Виртуальными или возможными называют малые перемещения системы, допускаемые
связями. При совершении системой возможных перемещений величина и направление
действительных внешних и внутренних сил, отвечающих ее исходному состоянию,
остаются неизменными.
Работу сил на возможных перемещениях называют возможной
и обозначают , при этом
В частности, возможными можно считать перемещения,
вызванные другими силами.
Для системы усилий:

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
2. Метод Максвелла–Мора определения перемещений
плоских стержневых систем
Вывод разрешающих соотношений метода базируется на применении принципа возможных
перемещений (принцип виртуальных работ): для равновесия упругой системы необходимо и
достаточно равенства нулю суммы возможных работ всех внешних и внутренних сил
системы,то есть
Состояние системы, находящейся под действием заданной нагрузки (рис.а)) называют
действительным или грузовым. Фиктивным или единичным называют состояние равновесия
системы, находящейся под действием Fi = 1 (рис.б).
Fi = 1
NF, QF, MF
Ni, Qi, Mi
Примем в качестве возможных перемещения действительного состояния системы
(2)

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Работа внутренних сил фиктивного состояния на возможных перемещениях
Возможная работа силы равна
Для равновесия фиктивного состояния, согласно принципу возможных перемещений, должно
выполняться равенство (2), которое с учетом (3) и (4) примет вид:
интеграла Мора
В приложениях формула (5) допускает существенные упрощения, определяемые характером
работы элементов стержневой конструкции. Так, в частности:
а) при определении перемещений в фермах в (5) сохраняются лишь слагаемые с N;
б) при определении перемещений в рамах и балках, для которых деформациями сдвига и
растяжения или сжатия можно пренебречь, в (5) удерживают лишь слагаемые с М;
в) при определении перемещений в арках удерживаются все слагаемые интеграла Мора.
(3)
(4)
(5)

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
3. Техника определения перемещений
Выбор фиктивного состояния
определяется видом искомого
перемещения:
При определении линейного
перемещения точки С оси рамы
в направлении k-k в этой точке
прикладывается сила F =1 с
линией действия k-k;
2. При определении взаимного
линейного смещения точек С и В
системы в них прикладываются
противоположно направленные по
линии СВ единичные силы;
3. При определении угла поворота поперечного сечения рамы С (или, что то же,
касательной к изогнутой оси стержня в этой точке) в нем прикладывается момент m = 1;
4. При определении взаимного угла поворота двух сечений системы С и Д в точках С и Д
прикладывают противоположно направленные единичные моменты.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
При определении перемещений в балках и рамах вычисление интеграла Мора удобно
осуществлять графоаналитическим методом.
Формула (правило) Верещагина
Рассмотрим, например, произвольный грузовой участок
системы
, в пределах которого EIz= const.
Преобразуем интеграл:
.
Итак,
где
площадь грузовой эпюры MF; yc – ордината линейной эпюры Mi, взятая под
центром тяжести эпюры MF.
Удобство правила Верещагина особенно отчетливо проявляется, когда эпюры подинтегральных
моментов представляют собой сочетания прямоугольников и треугольников.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Формула Симпсона,
позволяющая определять точное значение интеграла Мора, если произведение
является полиномом не выше третьей степени.
b – длина грузового участка.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИМЕР

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
поворота сечения В при условии,
что EIp = =2EIc.
Требуется определить vc – вертикальное
перемещение точки С и – угол

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Теоремы взаимности
В приложении к линейно-деформируемым стержневым системам можно утверждать, что в
процессе их деформации вся работа внешних сил T переходит в потенциальную энергию
упругой деформации U, накапливаемую системой, то есть
(1)
Такая форма закона сохранения энергии возможна потому, что для указанных систем работа
внешних сил, расходуемая на преодоление внутреннего трения в материале и связях, на
изменение температуры и прочие необратимые потери, оказывается пренебрежимо малой.
Анализ выражения потенциальной энергии упругой деформации U
1. Всегда
позволяет сделать следующие выводы:
2. Потенциальная энергия, вызванная группой сил, не равна сумме энергий, вызванных
каждой из этих сил в отдельности (т.к., напр., );
3. Количество потенциальной энергии системы не зависит от последовательности
загружения, а определяется лишь ее исходным и конечным состояниями (т.к. от
последовательности загружения не зависят определяющие U значения
усилий N, Q, M. ).
;

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим два варианта последовательных
загружений системы силами Fi, Fk и определим
совершаемые при этом работы.
(2)
где
где перемещение точки приложения (и по направлению) силы , вызываемое силой
Поскольку работа, как и U зависит лишь от конечного состояния системы, должно
выполняться равенство T1 = T2, из которого, с учетом (2), следует:
(3)
Получено простейшее доказательство теоремы о взаимности работ, известной в литературе
под названием теоремы Бетти.