Уроки 8-9

y’’ = f(x,y,y’).
y = ϕ(x,C’,C’’),
Общее решение
где С’,С’’ - независимые постоянные,
Тогда начальные условия: у = у0
y/(х = х0) = y/0
tg α0 = y/0
Вообще через каждую точку
М0(х0,у0) плоскости Оху
проходит пучок интегральных
кривых.
Поэтому нужно не только
выбрать кривую,
но еще и указать ее направление.

Пусть имеем линейное дифференциальное
однородное уравнение
y’’ + p⋅y’ + q⋅y = 0. (2.8)
где p, q - постоянные коэффициенты.
Будем искать частное решение в форме
Линейные однородные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
k = Const и ее нужно определить.

так называемое характеристическое уравнение

Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении производные у’’, у’ и саму функцию у заменить на соответствующие степени k.

.
, :
;
1.
следовательно, имеем два действительных корня
k1 и k2. Следовательно, уравнение допускает
два различных частных решения
если k1≠k2, то эти решения будут
линейно независимы.

Определение.
Два решения у1 и у2 называются
линейно зависимыми, если можно подобрать
постоянные числа а1 и а2, неравные
одновременно нулю, такие, что линейная
комбинация этих функций тождественно равна нулю,
то есть а1⋅у1 + а2⋅у2 ≡ 0.
В противном случае
(то есть если таких чисел подобрать нельзя)
у1 и у2 называются линейно независимыми.
Тогда общее решение данного уравнения
есть линейная комбинация этих частных решений

,
.
:
.
.
2.
, следовательно,
В этом случае корень называется кратным,
и частное решение будет одно
Всякое другое частное решение у2, линейно независимое с у1, обязательно должно иметь вид
у2 = у1⋅z(x),
где z(x) - некоторая функция,
не являющаяся константой

.
y’’ + p⋅y’ + q⋅y = 0

.
или
Следовательно, z’’ = 0.

Тогда z’ = a и z = ax + b, где a и b - произвольные константы. И, следовательно,
Если нам нужно только частное решение,
то можно принять а=1,b=0 и тогда
То есть общее решение уравнения во втором случае имеет вид
.
3.

3.
, то будем иметь два сопряженных
комплексных корня
и
.
.
k1 = α + i⋅β и k2 = α - i⋅β, где
Таким образом, общее решение имеет вид

Пусть дано дифференциальное уравнение
y’’ + p⋅y’ + q⋅y = 0
1. Если характеристическое уравнение имеет действительные корни k1, k2 такие, что k1 ≠ k2, то все решения имеют вид
2. Если характеристическое уравнение имеет равные действительные корни k=k1=k2, то решение имеет вид
3. Если характеристическое уравнение имеет
мнимые корни k1,2 = α ± i⋅β, (β ≠ 0), то