В Древней Греции

Александрийская эпоха. Евклид.
В самом конце I V века до н.э. важнейшие математические достижения учёных Древней Греции были систематизированы и изложены в «Началах» Евклида, с которого начинается новый, самый блестящий период развития древнегреческой математики, так называемая александрийская эпоха.
Известно, что после смерти Александра Македонского его огромная империя распалась. При её разделе один из греко-македонских полководцев, Птолемей, сын Лага, стал править Египтом с новопостроенным городом Александрией. Птолемей основал знаменитый музей (храм муз, покровительниц науки и искусств), ставший высшим культурным и научным учреждением, центром научной мысли эпохи эллинизма. В состав музея входила и богатейшая Александрийская библиотека, насчитывавшая около 700 000 томов (свитков). В Александрии в III – II вв. до н.э. сосредоточились знаменитые математики того времени: Евклид, Эратосфен, Аполлоний. К Александрийской математической школе относится также Архимед, хотя он жил в Сиракузах. В этот период геометрия отделяется от философии и достигает высокого уровня совершенства.
К первым представителям Александрийской школы принадлежит Евклид.

Евклид
Наречён: Евклид (в некоторых транскрипциях – Эвклид)
Точная дата рождения неизвестна, известно лишь то, что он младше Птолемея 1 Сотера (306 – 283 г.до нашей эры), но старше Архимеда (287 – 212 г. до нашей эры).
Обстоятельства рождения: по данным арабских хроник: «Евклид, сын Нуакрата, известный под именем «Геометра», по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из небольшого городка Тира, недалеко от Афин. По другим данным, родина Евклида – Афины.

Евклид Александрийский
Характер: В одном из своих сочинений математик Папп, живший в Александрии в 3-4 в.в. н.э., изображает Евклида , как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм. Семейное положение: неизвестно, но учитывая огромное научное наследие и безграничную любовь к геометрии, наверняка был холост.
За что ценим: будучи основателем математической школы в Александрии, написал для её учеников фундаментальный труд, на тысячелетия определивший путь развития геометрии.

Евклид - учитель
В свободное от математики время: одарённый от природы Евклид проявил себя и в совершенно неожиданных областях науки и культуры. В музыке – он изобретатель прообраза камертона – монохорда. В оптике – основатель геометрической оптики.
Евклид преподавал в Александрии, куда был приглашён царём Птолемеем 1 Сотером для организации математической школы. Известно, что он учился в платоновской Академии в Афинах. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он вероятно, четыре науки, которые по мнению Платона должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии и астрономию.

Нет царской дороги к геометрии.
Славу Евклиду принёс написанный около 325 года до н.э. для своих учеников Александрийской математической школы фундаментальный труд «Начала», в котором он подвёл итог построению геометрии, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привёл в одну систему основные геометрические знания того времени и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет «Начала» стали энциклопедией геометрии. Прокл в комментариях к первой книге «Начал» приводит рассказ о том, что будто бы царь Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид ответил: «Нет царской дороги к геометрии!». Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.
Предшественники Евклида – Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но всё это были отдельные фрагменты.

Начала.
Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Все эти книги построены по единой логической схеме.Позже греческие математики включили в «Начала» ещё две книги – 14-ю и 15-ю, написанные другими авторами.
В «Началах» Евклид придерживается аристотелевских принципов построения науки. Величайший философ древности – Аристотель жил и творил в период, непосредствованно предшествующий «Началам» Евклида. В трудах Аристотеля разъясняется сущность научных определений, аксиом и доказательств. Согласно Аристотелю, одно определение (например, квадрата) не говорит ещё о существовании определяемого. Существование следует доказать. Доказательством же служит построение. Именно эта и другие установки Аристотеля нашли своё отражение в «Началах» Евклида. Как и Аристотель, Евклид обозначает величины буквами.
Первые шесть книг «Начал» посвящены планиметрии, 7-10 – учению о числе, 11-13 – стереометрии. Оригинальная рукопись, которая долгое время сохранялась в Александрийском музее, не дошла до нас. Древнейшая из сохранившихся копий принадлежит IX веку. На русском языке «Начала» были изданы 3 раза в 18 веке и четыре раза в 19 веке. Последний и самый совершенный перевод с греческого на русский язык был осуществлён в 1948-1950 г.г.

1-13 книги «Начал»
В первой книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора.
Во второй книге излагаются основы геометрической алгебры. С помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.
Третья книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.
В четвёртой книге рассматриваются правильные многоугольники, причём построение правильного пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду. Появляются основы учения о подобии.
Книги 5-я и 6-я посвящены теории отношений и её применению к решению алгебраических задач.
Книги 7-я, 8- и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5в. до н.э. Приводится алгоритм нахождения наибольшего общего делителя.
В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности и излагаются результаты, полученные Теэтетом.
В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии.
В 12-й книге доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объёму шара, выводятся отношения объёмов пирамид, призм и конусов.
В основу 13-й книги легли результаты, полученные Теэтетом в области правильных многогранников.
В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед.

Евклидова геометрия
«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая ивестна и поныне под названием Евклидовой геометрии. Начиная с III в. до н.э. и до середины 19 века «Начала» считались образцом строго логического изложения геометрии. Евклид исходит из определений геометрических понятий и аксиом. Каждое геометрическое понятие формулируется в общих выражениях, затем конкретно указывается на чертеже то, что дано и что требуется доказать или построить. После доказательства следует заключение, повторяющее начальную формулировку и заканчивающееся словами: «что и требовалось доказать» или «что и требовалось сделать».
На протяжении многих столетий до 19 века геометрия изучалась в школах по «Началам» Евклида. Наши современные учебники имеют много общих черт с «Началами»: планиметрия и стереометрия излагаются раздельно, каждая из них примерно в том же порядке, что и у Евклида; теоремам предшествуют определения и аксиомы. Многие теоремы, изложенные в современных учебниках, совпадают с теми, которые имеются в «Началах», методы доказательства в большинстве случаев те же. Но есть и различия. В «Началах» даже не упоминается о непосредственном измерении площадей и объёмов фигур, а только об их сравнении. Так, например, у Евклида нет теоремы о том, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; имеется только теорема о том, что треугольник равновелик половине параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. В «Началах» нигде не говорится о числе π и его приближённом значении. Все теоремы и их доказательства излагаются в чисто геометрической форме. Евклид не вычисляет длин, площадей , объёмов (таких слов даже нет в книге), а находит посредством геометрических построений соотношения между величинами геометрических фигур. В «Началах» все предложения расположены в виде цепи логических рассуждений и выводов, исходя из простых аксиом и доходя постепенно до сложных теорем.

1 книга Евклида. Определения и постулаты.
Первая книга Евклида начинается с 23 определений, среди них такие:
Точка есть то, что не имеет частей.
Линия есть длина без ширины.
Границы линии суть точки.
Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.
Границы поверхности суть линии.
Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым , на ней лежащим.
Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.
Такие определения нельзя считать логически корректными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия, которые сами должны быть определены (часть, длина, ширина, граница). Во-вторых, идея основных понятий у Евклида вообще отсутствует.
За определениями следуют 5 постулатов и 9 аксиом, которые Евклид не отождествлял
Постулаты.
1.Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2.И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
3.И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтоб все прямые углы были равны.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Это знаменитый постулат. Многочисленные попытки в 19 столетии «поправить» Евклида, сделать из этой аксиомы теорему закончились провалом.

Аксиомы
1. Равные порознь третьему равны между собой.
2.И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3.И если от равных отнимем равные, то получим равные
4.И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5.И если удвоим равные. То получим равные.
6.И половины равных равны между собой.
7.И совмещающиеся равны.
8.И целое больше части.
9.И две прямые не могут заключать пространства.
Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является их неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии. Лишь в 19 веке удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах учёный ими пользовался, но не сформулировал. Но это нисколько не умаляет роли Евклида, первого показавшего, как можно и как нужно строить математическую теорию. А значит, все последующие математики в известной степени являются учениками Евклида.

Задачи по геометрии и их решения
Из 1-й книги «Начал»
1. Данный прямолинейный угол рассечь пополам.
2.Данную ограниченную прямую(т.е. отрезок) рассечь пополам.
Из 3-й книги «Начал»
1.Найти центр данного круга.
2.Рассечь данную дугу пополам.
Из 4-й книги «Начал»
1.В данный круг вписать хорду данной длины.
Из 6-й книги «Начал»
1.Для данных двух отрезков найти средний пропорциональный.
2.Для трёх данных отрезков найти четвёртый средний пропорциональный.
1.Чтобы разделить угол ВАС пополам, Евклид берёт на АВ произвольную точку D и на АС откладывает АЕ = А D. Далее, на DЕ он строит равносторонний треугольник DЕF. Прямая АF делит угол ВАС пополам.
2.Чтобы разделить отрезок АВ пополам, Евклид строит на нём равносторонний треугольник АВС, делит угол АСВ пополам прямой СD. Точка D – середина отрезка АВ.
3. Доказательство Евклида (методом от противного) сводится к тому, что центр круга лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды.
4.Евклид делит пополам хорду АВ, стягивающую данную дугу. Из точки С, середины хорды, он строит перпендикуляр к АВ, пересекающий дугу в искомой точке D.

Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток –на второй и т.д. Последний ненулевой остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Пример: Найти НОД 777 и 629. 777 = 629 * 1 + 148.
629 = 148 * 4 + 37.
148 = 37 * 4.
Последниё ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.
Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично. Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньший отрезок откладывают на большем столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка откладывают на меньшем отрезке и т.д. Последниё ненулевой остаток даст наибольшую меру этих отрезков.

Популярный памятник древности
Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. В течение 2000 лет эта книга являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных странах и городах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. До 20 века книга считалась основным учебником не только для школ, но и для университетов.
«Начала» Евклида – образец дедуктивного (от общего к частному) изложения геометрии, алгебраические выводы сделаны в геометрическом стиле.
Впоследствии геометрия развивалась, появилась неевклидова геометрия, геометрия стала экспериментальной наукой в физике. Но предпосылками этого развития стали именно труды великого Евклида.

Другие сочинения
«Данные» - задачи, решаемые с помощью геометрической алгебры.
«О делении фигур» - задачи на построение.
«Явления» - астрономическое сочинение.
«Оптика»
«Сечения канона» - небольшой трактат , содержит десять задач о музыкальных интервалах.
Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах» подчинено строгой логике, причём теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов.