Решение заданий площади многоугольников

Теорема Пика
Пусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
S = L + B/2 – 1
Пример 1.
Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),
B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому
S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Теорема Пика
Пример 2.
L = 18 (красные точки),
B = 10 (синие точки), поэтому
S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:

Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
ha
ha

Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = aha
a
ha
ha
a

Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота,
S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
b
h
a
b
h
a

Площадь четырехугольника
Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
d2
d1
α
d2
d1
α

Задания открытого банка задач
1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5.
Решение:
7
3

Задания открытого банка задач
2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
8
4
ha

Задания открытого банка задач
3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
8
ha
3

Задания открытого банка задач
4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
4
6
ha

Задания открытого банка задач
5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
3
8
ha

Задания открытого банка задач
6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33.
Решение:
1
8
9
8
6
8
2

Задания открытого банка задач
7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15,5.
Решение:
7
9
8
1
5
4

Задания открытого банка задач
8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 50.
Решение:
1
7
по теореме Пифагора:
а
а

Задания открытого банка задач
9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 20.
Решение:
2
6
по теореме Пифагора:
а
b
1
3

Задания открытого банка задач
10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
4
8

Задания открытого банка задач
11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17,5.
Решение:
5
4
3

Задания открытого банка задач
12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 8.
Решение:
6
4
8

Задания открытого банка задач
13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30.
Решение:
5
4
8

Задания открытого банка задач
Ответ: 36.
Решение:
7
2
8
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задания открытого банка задач
15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 28.
Решение:
7
4

Задания открытого банка задач
17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25,5.
Решение:
5
9
8
3
7
2

Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (1 способ)
7
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
3

Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (2 способ)
7
9
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
2
1
2
S2
S3
S4

Задания открытого банка задач
19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 51.
Решение:
6
9
8
2
3
6

Задания открытого банка задач
20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 31.
Решение:
9
8
2
5

Задания открытого банка задач
21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33,5.
Решение:
7
8
2
5
3
2

Задания открытого банка задач
22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24.
Решение:
8
8
3
5
5
3

Задания открытого банка задач
23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14,5.
7
8
3
4
5
3
Решение:

Задания открытого банка задач
24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18.
7
8
Решение:
3
2

Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
4
4
4
4
Решение: (1 способ)
Площадь четырехугольника
(в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1.
Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16.

Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Задания открытого банка задач
26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5.
Решение: (1 способ)
9
9
5
4
5
3
5
4
6