ВекторЫ!

Многие физические
величины, например
сила, скорость,
характеризуются не
только своим
числовым значением,
но и направлением в
пространстве.
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРОВ

Такие физические величины называются
или
НАПРАВЛЕННЫМ ОТРЕЗКОМ
ВЕКТОРОМ

Рассмотрим
произвольный
отрезок. Его
концы называются
граничными
точкам отрезка.

На отрезке можно указать два направления:
от одной точки к другой и наоборот.

Чтобы выбрать одно из
направлений,
одну граничную точку отрезка
назовем началом отрезка,

а другую – концом и
будем считать, что
отрезок направлен от
начала к концу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Отрезок, для которого указано,
какая из его граничных точек считается началом,
а какая – концом,
называется
НАПРАВЛЕННЫМ ОТРЕЗКОМ
ИлИ
ВЕКТОРОМ.

На рисунках вектор
изображается
отрезком со
стрелкой,
показывающей
направление
вектора.

Векторы обозначают
двумя заглавными
латинскими буквами со
стрелкой над ними,
например АВ.

Первая буква
обозначает
начало вектора,
вторая – конец.

Векторы часто
обозначают и одной
строчной латинской
буквой со стрелкой
над ней: а, b, c

Любая точка
плоскости также
является вектором.
В этом случае
вектор называется
НУЛЕВЫМ.

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой.

Если точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ.

Нулевой вектор
обозначается также
символом 0.

Длина вектора АВ
(вектора а) обозначается
так: АВ ( a ). Длина
нулевого вектора
считается равной 0: 0 = 0
_
_
_
_
_
_

Длиной или модулем
ненулевого вектора АВ
называется длина отрезка АВ.

Ненулевые векторы
называются
,
если они лежат либо
на одной, либо на
параллельных прямых;
Равентсво вектороВ
КоллинеарнымИ

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два
ненулевых вектора
а и b коллинеарны, то
они могут быть
направлены либо
одинаково, либо
противоположно.

В первом случае
векторы а и b
называются
,
а во втором –
СоНаПрАвЛеНнЫмИ
ПрОтИвОпОлОжнО НаПрАвЛеннЫмИ

Сонаправленность векторов а и b
обозначается
следующим
образом: а^^b.
_
_

Если же векторы
а и b противоположно направлены, то это обозначают так: а^ b
_
_

Начало нулевого
вектора совпадает
с его концом,
поэтому нулевой
вектор не имеет
какого – либо
определенного
направления.

Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Векторы называются
если они сонаправлены
и их длины равны.
РаВнЫмИ

От любой точки
М можно
отложить вектор,
равный данному
вектору а, и
притом только
один.
ОткладЫваниЕ ВекторА ОТ ДАннОЙ ТоЧкИ

Замечание.
Равные векторы,
отложенные от
разных точек, часто
обозначают одной и
той же буквой.

Иногда
про такие векторы говорят,
что это один и тот же вектор,
но отложенный от разных
точек.

Сложение и вЫчитание ВеКт0роВ
СуммА двух ВеКт0роВ

Пусть а и b два
вектора. Отметим
точку А и
отложим от этой
точки вектор АВ,
равный а.
ПравИлО ТрЕуГолЬнИкА

Затем от точки В
отложим вектор ВС,
равный b. Вектор АC
называется
СУММОЙ ВЕКТОРОВ а и b.
Сумма векторов
а и b
обозначается так:
а+b.

Складывая по правилу
треугольника
произвольный вектор а с
нулевым вектором,
получаем, что для
любого вектора а
справедливо равенство
а+0=а

Правило
треугольника можно
сформулировать
также следующим
образом:
если А, В и С –
произвольные точки,
то АВ+ВС=АС
Правило треугольника работает и для КОЛЛИНЕАРНЫХ векторов

План построения.
1. От произвольной
точки плоскости
отложим вектор МN,
равный вектору а и
вектор МК, равный
вектору b.
ПравилО ПаРаллЕлоГрАммА

2. Достроим до
параллелограмма
МNРК.
3. Суммарный вектор –
вектор МР –
ДИАГОНАЛЬ пар-мма.

Правило
параллелограмма
не работает для
коллинеарных
векторов.

Для любых векторов а, b и
с справедливы равенства:
а+b=b+a
(переместительный закон)
2. (a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)

План построения
1. От произвольной
точки плоскости отложим
вектор а, з-м от конца а
отложим вектор, равный
вектору b и т.д.
(последовательно)
ПравилО МноГоУГолЬниkА

2. Суммарный
вектор – вектор,
проведенный из
начала первого в
конец последнего.

а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
РаЗностьЮ ВеКТОроВ
ВЫчиТаниЕ ВеКтОроВ

1 способ
План построения
1. От произвольной
точки плоскости
отложим вектор ОА,
равный а и вектор ОВ,
равный b.

2. Вектор
разности а-b – это
вектор ВА
а – b = с
с + b = a

2 способ.
-
противоположнонаправлены и
равны по длине.
Для ЛЮБЫХ векторов а и b
справедливо равенство
а – b = a + (-b)
ПроТивоПоложнЫе ВеКтОрЫ

ненулевого вектора а на число k
называется вектор, модуль которого
равен k a , а направление
совпадает с а, если k> 0 и
протитивоположно, если k< 0.
УмНоЖениЕ ВеКтОрА НА ЧислО
_
_
.
_
_
ПрОиЗвеДениеМ

Из определения следует, что:
Произведение любого вектора на 0
есть нулевой вектор;
2) Для любого числа k и любого
вектора а векторы а и kа коллинеарны.

Для любых чисел k, l и любых векторов а, b справедливы равенства:
1.(kl)a = k(la) (сочетательный закон).
2. (k+l)a = ka + la (первый распределительный закон).
3. k(a+b) = ka + kb (второй распределительный закон)