Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

При аппроксимации функций,
а также в некоторых других задачах
приходится вычислять значения многочленов вида
При непосредственном вычислении
потребуется выполнить большое число операций
умножений и п сложений

Теорема Безу
Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению этого многочлена при
Доказательство:
, где
– многочлен степени на единицу меньшей, чем
Найдем значение
при
что и требовалось доказать
Пусть

Рассмотрим более простой метод деления многочлена
на линейный двучлен
Представим многочлен
в виде
, где
или

Раскрывая скобки в последнем равенстве имеем
После приведения подобных членов имеем

Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях получим равенства
или

Вычисления удобно располагать по следующей схеме
(называемой схемой Горнера):
Этот метод требует n умножений и n сложений.

Вычисление значений аналитической функции

Действительная функция f(x) называется
аналитической в точке
если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):
При
получаем ряд Маклорена

Разность
называется остаточным членом
и представляет собой ошибку
при замене функции f(x) полиномом Тейлора

Как известно,
где
В частности, для ряда Маклорена имеем
где
Имеются также другие формы остаточных членов.

Вычисление значений показательной функции
Для показательной функции справедливо разложение
Остаточный член ряда имеет вид

Приближенное вычисление для малых x удобно вести ,
пользуясь следующей рекуррентной записью:
(k = 1, 2, …, n),
где
Число
приближенно дает искомый результат.

Для остатка ряда может быть получена
следующая оценка:
при
Поэтому процесс суммирования может быть прекращен,
как только очередной вычисленный член ряда
будет по модулю меньше заданной допустимой погрешности:
, если только
Для больших по модулю значений x
этот ряд мало пригоден для вычислений

Вычисление значений логарифмической функции
Пользуемся разложением по степеням
Пусть x – положительное число. Представим его в виде
где m – целое число и

Тогда, полагая
, получим
где

Обозначив
получаем рекуррентную запись
,
Процесс суммирования прекращается,
как только выполнится неравенство
где
– допустимая погрешность.

Вычисление значений синуса и косинуса.
Для вычисления значений функций
и
пользуемся степенными разложениями

Эти ряды при больших x сходятся медленно,
но, учитывая периодичность функции и
и формулы приведения тригонометрических функций,
легко заключить, что достаточно уметь вычислять
и
для промежутка

При этом можно использовать следующие
рекуррентные формулы:

Так как в промежутке
ряд
знакочередующийся с монотонно убывающими
по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка